前缀、中缀、后缀表达式

http://blog.csdn.net/antineutrino/article/details/6763722

它们都是对表达式的记法，因此也被称为前缀记法、中缀记法和后缀记法。它们之间的区别在于运算符相对与操作数的位置不同：前缀表达式的运算符位于与其相关的操作数之前；中缀和后缀同理。

举例：
(3 + 4) × 5 - 6 就是中缀表达式
- × + 3 4 5 6 前缀表达式
3 4 + 5 × 6 - 后缀表达式

中缀表达式（中缀记法）
中缀表达式是一种通用的算术或逻辑公式表示方法，操作符以中缀形式处于操作数的中间。中缀表达式是人们常用的算术表示方法。
虽然人的大脑很容易理解与分析中缀表达式，但对计算机来说中缀表达式却是很复杂的，因此计算表达式的值时，通常需要先将中缀表达式转换为前缀或后缀表达式，然后再进行求值。对计算机来说，计算前缀或后缀表达式的值非常简单。

前缀表达式（前缀记法、波兰式）
前缀表达式的运算符位于操作数之前。

前缀表达式的计算机求值：
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如前缀表达式“- × + 3 4 5 6”：
(1) 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
(3) 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈；
(4) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
可以看出，用计算机计算前缀表达式的值是很容易的。

将中缀表达式转换为前缀表达式：
遵循以下步骤：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从右至左扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入S1；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是右括号“)”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最左边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式。
例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为前缀表达式的过程如下：

扫描到的元素S2(栈底->栈顶)S1 (栈底->栈顶)说明55空数字，直接入栈-5-S1为空，运算符直接入栈)5- )右括号直接入栈45 4- )数字直接入栈×5 4- ) ×S1栈顶是右括号，直接入栈)5 4- ) × )右括号直接入栈35 4 3- ) × )数字+5 4 3- ) × ) +S1栈顶是右括号，直接入栈25 4 3 2- ) × ) +数字(5 4 3 2 +- ) ×左括号，弹出运算符直至遇到右括号(5 4 3 2 + ×-同上+5 4 3 2 + ×- +优先级与-相同，入栈15 4 3 2 + × 1- +数字到达最左端5 4 3 2 + × 1 + -空S1中剩余的运算符因此结果为“- + 1 × + 2 3 4 5”。

后缀表达式（后缀记法、逆波兰式）
后缀表达式与前缀表达式类似，只是运算符位于操作数之后。

后缀表达式的计算机求值：
与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果。
例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”：
(1) 从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
(2) 遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
(3) 将5入栈；
(4) 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
(5) 将6入栈；
(6) 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。

将中缀表达式转换为后缀表达式：
与转换为前缀表达式相似，遵循以下步骤：
(1) 初始化两个栈：运算符栈S1和储存中间结果的栈S2；
(2) 从左至右扫描中缀表达式；
(3) 遇到操作数时，将其压入S2；
(4) 遇到运算符时，比较其与S1栈顶运算符的优先级：
(4-1) 如果S1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
(4-2) 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入S1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
(4-3) 否则，将S1栈顶的运算符弹出并压入到S2中，再次转到(4-1)与S1中新的栈顶运算符相比较；
(5) 遇到括号时：
(5-1) 如果是左括号“(”，则直接压入S1；
(5-2) 如果是右括号“)”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
(6) 重复步骤(2)至(5)，直到表达式的最右边；
(7) 将S1中剩余的运算符依次弹出并压入S2；
(8) 依次弹出S2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）。

例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：扫描到的元素S2(栈底->栈顶)S1 (栈底->栈顶)说明11空数字，直接入栈+1+S1为空，运算符直接入栈(1+ (左括号，直接入栈(1+ ( (同上21 2+ ( (数字+1 2+ ( ( +S1栈顶为左括号，运算符直接入栈31 2 3+ ( ( +数字)1 2 3 ++ (右括号，弹出运算符直至遇到左括号×1 2 3 ++ ( ×S1栈顶为左括号，运算符直接入栈41 2 3 + 4+ ( ×数字)1 2 3 + 4 ×+右括号，弹出运算符直至遇到左括号-1 2 3 + 4 × +--与+优先级相同，因此弹出+，再压入-51 2 3 + 4 × + 5-数字到达最右端1 2 3 + 4 × + 5 -空S1中剩余的运算符
因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”（注意需要逆序输出）。

编写Java程序将一个中缀表达式转换为前缀表达式和后缀表达式，并计算表达式的值。其中的toPolishNotation()方法将中缀表达式转换为前缀表达式（波兰式）、toReversePolishNotation()方法则用于将中缀表达式转换为后缀表达式（逆波兰式）：

注：
(1) 程序很长且注释比较少，但如果将上面的理论内容弄懂之后再将程序编译并运行起来，还是比较容易理解的。有耐心的话可以研究一下。(2) 此程序是笔者为了说明上述概念而编写，仅做了简单的测试，不保证其中没有Bug，因此不要将其用于除研究之外的其他场合。

下面是程序运行结果（绿色为用户输入）：

package qmk.simple_test;import java.util.Scanner;import java.util.Stack;/** * Example of converting an infix-expression to * Polish Notation (PN) or Reverse Polish Notation (RPN). * Written in 2011-8-25 * @author QiaoMingkui */public class Calculator {      public static final String USAGE = "== usage ==\n"            + "input the expressions, and then the program "            + "will calculate them and show the result.\n"            + "input 'bye' to exit.\n";      /**       * @param args       */      public static void main(String[] args) {            System.out.println(USAGE);            Scanner scanner = new Scanner(System.in);            String input = "";            final String CLOSE_MARK = "bye";            System.out.println("input an expression:");            input = scanner.nextLine();            while (input.length() != 0                  && !CLOSE_MARK.equals((input))) {                  System.out.print("Polish Notation (PN):");                  try {                        toPolishNotation(input);                  } catch (NumberFormatException e) {                        System.out.println("\ninput error, not a number.");                  } catch (IllegalArgumentException e) {                        System.out.println("\ninput error:" + e.getMessage());                  } catch (Exception e) {                        System.out.println("\ninput error, invalid expression.");                  }                  System.out.print("Reverse Polish Notation (RPN):");                  try {                        toReversePolishNotation(input);                  } catch (NumberFormatException e) {                        System.out.println("\ninput error, not a number.");                  } catch (IllegalArgumentException e) {                        System.out.println("\ninput error:" + e.getMessage());                  } catch (Exception e) {                        System.out.println("\ninput error, invalid expression.");                  }                  System.out.println("input a new expression:");                  input = scanner.nextLine();            }            System.out.println("program exits");      }      /**       * parse the expression , and calculate it.       * @param input       * @throws IllegalArgumentException       * @throws NumberFormatException       */      private static void toPolishNotation(String input)                  throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {            int len = input.length();            char c, tempChar;            Stack<Character> s1 = new Stack<Character>();            Stack<Double> s2 = new Stack<Double>();            Stack<Object> expression = new Stack<Object>();            double number;            int lastIndex = -1;            for (int i=len-1; i>=0; --i) {                  c = input.charAt(i);                  if (Character.isDigit(c)) {                        lastIndex = readDoubleReverse(input, i);                        number = Double.parseDouble(input.substring(lastIndex, i+1));                        s2.push(number);                        i = lastIndex;                        if ((int) number == number)                              expression.push((int) number);                        else                              expression.push(number);                  } else if (isOperator(c)) {                        while (!s1.isEmpty()                                    && s1.peek() != ')'                                    && priorityCompare(c, s1.peek()) < 0) {                              expression.push(s1.peek());                              s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), s1.pop()));                        }                        s1.push(c);                  } else if (c == ')') {                        s1.push(c);                  } else if (c == '(') {                        while ((tempChar=s1.pop()) != ')') {                              expression.push(tempChar);                              s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar));                              if (s1.isEmpty()) {                                    throw new IllegalArgumentException(                                          "bracket dosen't match, missing right bracket ')'.");                              }                        }                  } else if (c == ' ') {                        // ignore                  } else {                        throw new IllegalArgumentException(                                    "wrong character '" + c + "'");                  }            }            while (!s1.isEmpty()) {                  tempChar = s1.pop();                  expression.push(tempChar);                  s2.push(calc(s2.pop(), s2.pop(), tempChar));            }            while (!expression.isEmpty()) {                  System.out.print(expression.pop() + " ");            }            double result = s2.pop();            if (!s2.isEmpty())                  throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression.");            System.out.println();            if ((int) result == result)                  System.out.println("the result is " + (int) result);            else                  System.out.println("the result is " + result);      }      /**       * parse the expression, and calculate it.       * @param input       * @throws IllegalArgumentException       * @throws NumberFormatException       */      private static void toReversePolishNotation(String input)                  throws IllegalArgumentException, NumberFormatException {            int len = input.length();            char c, tempChar;            Stack<Character> s1 = new Stack<Character>();            Stack<Double> s2 = new Stack<Double>();            double number;            int lastIndex = -1;            for (int i=0; i<len; ++i) {                  c = input.charAt(i);                  if (Character.isDigit(c) || c == '.') {                        lastIndex = readDouble(input, i);                        number = Double.parseDouble(input.substring(i, lastIndex));                        s2.push(number);                        i = lastIndex - 1;                        if ((int) number == number)                              System.out.print((int) number + " ");                        else                              System.out.print(number + " ");                  } else if (isOperator(c)) {                        while (!s1.isEmpty()                                    && s1.peek() != '('                                    && priorityCompare(c, s1.peek()) <= 0) {                              System.out.print(s1.peek() + " ");                              double num1 = s2.pop();                              double num2 = s2.pop();                              s2.push(calc(num2, num1, s1.pop()));                        }                        s1.push(c);                  } else if (c == '(') {                        s1.push(c);                  } else if (c == ')') {                        while ((tempChar=s1.pop()) != '(') {                              System.out.print(tempChar + " ");                              double num1 = s2.pop();                              double num2 = s2.pop();                              s2.push(calc(num2, num1, tempChar));                              if (s1.isEmpty()) {                                    throw new IllegalArgumentException(                                          "bracket dosen't match, missing left bracket '('.");                              }                        }                  } else if (c == ' ') {                        // ignore                  } else {                        throw new IllegalArgumentException(                                    "wrong character '" + c + "'");                  }            }            while (!s1.isEmpty()) {                  tempChar = s1.pop();                  System.out.print(tempChar + " ");                  double num1 = s2.pop();                  double num2 = s2.pop();                  s2.push(calc(num2, num1, tempChar));            }            double result = s2.pop();            if (!s2.isEmpty())                  throw new IllegalArgumentException("input is a wrong expression.");            System.out.println();            if ((int) result == result)                  System.out.println("the result is " + (int) result);            else                  System.out.println("the result is " + result);      }      /**       * calculate the two number with the operation.       * @param num1       * @param num2       * @param op       * @return       * @throws IllegalArgumentException       */      private static double calc(double num1, double num2, char op)                  throws IllegalArgumentException {            switch (op) {            case '+':                  return num1 + num2;            case '-':                  return num1 - num2;            case '*':                  return num1 * num2;            case '/':                  if (num2 == 0) throw new IllegalArgumentException("divisor can't be 0.");                  return num1 / num2;            default:                  return 0; // will never catch up here            }      }      /**       * compare the two operations' priority.       * @param c       * @param peek       * @return       */      private static int priorityCompare(char op1, char op2) {            switch (op1) {            case '+': case '-':                  return (op2 == '*' || op2 == '/' ? -1 : 0);            case '*': case '/':                  return (op2 == '+' || op2 == '-' ? 1 : 0);            }            return 1;      }      /**       * read the next number (reverse)       * @param input       * @param start       * @return       * @throws IllegalArgumentException       */      private static int readDoubleReverse(String input, int start)                  throws IllegalArgumentException {            int dotIndex = -1;            char c;            for (int i=start; i>=0; --i) {                  c = input.charAt(i);                  if (c == '.') {                        if (dotIndex != -1)                              throw new IllegalArgumentException(                                    "there have more than 1 dots in the number.");                        else                              dotIndex = i;                  } else if (!Character.isDigit(c)) {                        return i + 1;                  } else if (i == 0) {                        return 0;                  }            }            throw new IllegalArgumentException("not a number.");      }            /**       * read the next number       * @param input       * @param start       * @return       * @throws IllegalArgumentException       */      private static int readDouble(String input, int start)      throws IllegalArgumentException {            int len = input.length();            int dotIndex = -1;            char c;            for (int i=start; i<len; ++i) {                  c = input.charAt(i);                  if (c == '.') {                        if (dotIndex != -1)                              throw new IllegalArgumentException(                              "there have more than 1 dots in the number.");                        else if (i == len - 1)                              throw new IllegalArgumentException(                              "not a number, dot can't be the last part of a number.");                        else                              dotIndex = i;                  } else if (!Character.isDigit(c)) {                        if (dotIndex == -1 || i - dotIndex > 1)                              return i;                        else                              throw new IllegalArgumentException(                              "not a number, dot can't be the last part of a number.");                  } else if (i == len - 1) {                        return len;                  }            }                        throw new IllegalArgumentException("not a number.");      }      /**       * return true if the character is an operator.       * @param c       * @return       */      private static boolean isOperator(char c) {            return (c=='+' || c=='-' || c=='*' || c=='/');      }}

== usage ==

input the expressions, and then the program will calculate them and show the result.

input 'bye' to exit.

input an expression:

3.8+5.3

Polish Notation (PN):+ 3.8 5.3

the result is 9.1

Reverse Polish Notation (RPN):3.8 5.3 +

the result is 9.1

input a new expression:

5*(9.1+3.2)/(1-5+4.88)

Polish Notation (PN):/ * 5 + 9.1 3.2 + - 1 5 4.88

the result is 69.88636363636364

Reverse Polish Notation (RPN):5 9.1 3.2 + * 1 5 - 4.88 + /

the result is 69.88636363636364

input a new expression:

1+((2+3)*4)-5

Polish Notation (PN):- + 1 * + 2 3 4 5

the result is 16

Reverse Polish Notation (RPN):1 2 3 + 4 * + 5 -

the result is 16

input a new expression:

bye

program exits