关于进制的一些思考

让我们循序渐进，一个问题一个问题的分析。有类似的进制问题欢迎交流，我来汇总。

因为编辑器不支持下标，所以用log(x,y)的含义是x ^ log(x,y) = y

 

问题1一个地主雇一个长工干七天活，每天给一两黄金，他手里有一个整块的七两黄金，分成三块，恰好可以付工钱，问如何分割？

 

分成1,2,4。

第一天给1；

第二天把1要回来，给2；

第三天给1；

第四天把1,2要回来，给4；

第五天给1；

第六天把1要回来，给2；

第七天给1，结束。

 

分析这道题可以发现这是一个2进制的题目，要确保长工手上的值可以保持1~N，最好的办法就是按照2进制序列将N分割。

所以假如不是7，而是100，那么就应该分成1,2,4,8,16,32,37。可以看到最后一个值不是2的幂，这是因为总量100不是2^k - 1，对于这种情况，实际上有多种分法，只要保证如下条件：序列按非递减排序，相邻两个值的倍数不大于2。例如对于100，切分成1,2,4,7,14,28,44也是可以的。

 

这里有两个结论：

1> 按照2的幂序列：1,2,4，……切分，最后不够2的幂就让它单独为1块，那么这个切法是块数最少的切法，即不可能有更少的切法可以表示1~N

2> 如果N == 2^k - 1，那么切法唯一，否则切法不唯一。

问题2给定长度的尺子，尺子没有刻度，即这种尺子只能量它本身的长度，如果需要丈量1~40的长度，至少需要多少把这样的尺子？

 

也许有人立马会说，和上题一样，2进制，那就至少需要1,2,4,8,16,32，共6把尺子。

 

实际的答案是1,3,9,27共4把尺子。例如想丈量5，那么就把9放在下面，在它的一侧放上1和3，那么剩下的长度就是5。其它长度相信聪明的读者也能自行完成。

 

这个题和上个题的区别在于，尺子长度可以被减去，也就是说尺子的状态可以是-1（被减去），0（不参加），1（被加上）；而上题的分金子问题，金子只有两种状态，0（不给长工），1（给长工），没有其他状态。

 

所以这道题是一道3进制的问题，类似上题有两个结论：

1>按照3的幂序列：1,3,9，……切分，最后不够3的幂就让它单独为1块，那么这个切法是块数最少的切法，即不可能有更少的切法可以表示1~N

2>如果N ==（3^k - 1）/ 2，那么切法唯一，否则切法不唯一。

问题3找出2.5亿个32bit整数中只出现一次的整数总个数，内存600M？900M？（我在一个已有题目上加了后面一问，并限制整数为32bit，如果是64bit就不能这么考虑了，原题地址http://topic.csdn.net/u/20070929/14/b183cd03-d780-4c59-a666-ab127f12f7b1.html）

 

首先可以肯定的是这是一个位图题，其它任何方法效率都不可能高。主要是看位图如何设计。

 

首先我们看一下600M的情况，32bit的整数，共有2^32=4G种可能，如果用1个bit表示整数是否出现，那么需要1bit*4G = 512M bytes内存，可是1bit只能区分整数是否出现，如果出现多次，那就没有区分能力了。所以有人提出了用2bit表示状态：00没出现，01出现1次，10出现多次。这时内存就无法装下所有整数的位图，但是可以装下一半。数据读两次，第一次只考虑负整数，第二次只考虑正整数，把两次结果累加就可以得到结果了。这样做的缺点就是需要读两次数据。这是目前我觉得最好的办法了。

 

但是如果内存增加到900M呢？因为如果每个整数用2bit表示状态，共需要2bit*4G = 1024M bytes内存，还是无法一次装下全部，那么是否还是按照上面600M的解法，读两次数据呢？仔细观察，我们发现，其实2bit用在3种状态下是浪费的，因为11这种情况没有用到，进而我们就应该想如何用更加节省的办法。既然每个整数有3种状态（出现0次，1次，多次），那么其实就是3进制，而计算机的内存资源是按照2进制排列的。我们需要想一下如何用x bits的2进制数据表示y bits的3进制数据。

即 2^x >= 3^y

x >= log(2,3) * y≈1.5849625007211561814537389439478 y

也就是说，这个方法的极限也就是用1.5849625007211561814537389439478个2进制bits表示1个3进制bit。恰好可以找到2^8 = 256 > 243 = 3^5， 8 / 5 = 1.6已经很接近这个极限了。

所以题目所需的是512M的3进制可以用 512M * 1.6 = 819.2M的2进制内存容纳。

所以在900M内存的情况下只需要读一次数据就可以统计出结果，当然这个2进制和3进制转换的部分会比较麻烦。

问题4 1000瓶药只有1瓶有毒，药水可以混合，小白鼠喝到有毒的1小时就会死亡，给你1小时时间，问至少多少只小白鼠可以试出是哪瓶有毒？

 

先插播两个错误答案：）

经常搞矩阵的人想，嗯，搞成矩阵，通过行和列唯一确定一个元素，32 * 32 > 1000，那就搞个32*32的矩阵，32个老鼠按行喝，32个老鼠按列喝，那就64只老鼠搞定。

玩魔方的人一般对3维立体的东西比较感兴趣，一看到这题，嘿！不就是10阶魔方吗？将1000瓶药水放到10*10*10的魔方，然后每个老鼠喝一个平面药瓶的药水，在三维空间，3个正交平面可以交与1点，这就是毒药。所以这种方法派10 + 10 + 10 = 30 只老鼠搞定！

 

实际上，这是一道2进制的问题，答案是10只老鼠。老鼠的生和死分别是两种状态，对应2进制的（0和1），那么10个2进制位可以表达2^10 = 1024种状态，而1000瓶药水里面只有1瓶有毒，总共只有C(1000,1) = 1000种可能，状态空间足够用。

将老鼠看成10个2进制位，bit0 ~ bit9，将1000瓶药顺序编号从0~999，将其转换成2进制，如果相应bit是1，就给那个bit对应的老鼠喂一滴，例如325号瓶的2进制是101000101，由于bit0，bit2，bit6，bit8是1，那么就给这4只老鼠喂，其它不喂。这样最后观察那些老鼠死了，就可以确定有毒药的瓶子编号哪些二进制bit是1，就找出了这个瓶子。

 

所以验证N瓶药水，就需要ceil(log(2,N))只老鼠。

问题5 700瓶药水有一瓶有毒，药水可混合，喂食小白鼠，20小时会显效果，如果给你50小时，问至少需要多少只小白鼠可以确定哪瓶是毒药？

 

有客官发现50个小时可以做两次试验，估计了一下，用上题的方法，700只做一次试验需要10只老鼠。如果分两次，每次可以验证350瓶药水，每次需要9只，假如第一次就试验出有毒的药瓶，那么就不需要做第二次试验了；反之假如第一次没试出有毒的，那么9只老鼠依然存活，那就可以用它们做第二次试验。所以比只做一次试验要少1只。

 

然而还有用更少只老鼠的方法。因为700瓶药水太多，那就先从简单的考虑，假设9瓶药水，其它条件不变，将9瓶药水按照3进制编号

00,01,02,10,11,12,20,21,22

两只老鼠a和b分别对应bit0和bit1（注意每种bit有3种取值）

1> 第一次试验，a老鼠喝所有bit0 == 0的药水（00,10,20），b老鼠喝bit1 == 0的药水（00,01,02）

如果都死了，那么可以判断是00，goto 4

如果a死b活，那么可疑的药水是（10,20），goto 2

如果a活b死，那么可疑的药水是（01,02），goto 2

如果都活，那么可疑的药水是（11,12,21,22），goto 3

2> 1只活老鼠，2瓶药水，随便喂其中1瓶，如果老鼠死了，那么就是这瓶有毒，否则就是另一瓶，goto 4

3> 2只活老鼠，4瓶药水，一次实验机会，可以用上一题2进制的解法得到答案，goto 4

4> 结束

假如你自己画个图，就会发现规律，3只老鼠可以验证3^3 =27瓶药水，N瓶药水需要ceil(log(3,N))个老鼠来验证，对于本题来说，700瓶药水需要6只老鼠。

 

等等，假如时间延长了，不是50小时，例如60小时，那答案是多少呢？由于60小时可以试验3次，所以这个问题就已经不是3进制了。因为每个老鼠的状态可以是（第一次试验死，第二次试验死，第三次试验死，不死），所以这是一个4进制的问题。有兴趣的同学可以用16瓶药水验证一下，理论上60小时16瓶药水需要2只小白鼠。

 

那么通用的问题是N瓶药水里面有一瓶是有毒的，药水可以混合，每次验证需要X小时，总时间Y小时，问至少需要多少只小白鼠？

通用的答案是( Y >= X ) ? ceil(log(floor(Y/X)+1,N)): noSolution

此题答案来自于 zhangchaoxu@sogou，出题者未知。