切西瓜 ( 1)

切西瓜

摘要:

本文主要目的在于对一个k维空间进行n次分割后可得到的最大区域数提供一个普适公式.

关键词:

空间,平面,区域数,边界

 

 

 

1.一个西瓜切4刀最多能切多少块?显然就4刀这个约束条件,答案是无数块.例如如下情况中的任何一种理论上都可能得到无数块

1.1.采取曲线切割方式,即刀走的路线是曲线

1.2.刀是曲面.

1.3.西瓜不是凸空间几何形状.

显然1,2情况的原理是一样的很好理解.对于情况3,举例如下,设想一个锯齿形西瓜(现实中不可能)锯齿越多,一刀切过去可能得到的块数越多.

显然,上述展示的发散思维有一种好处,那就是可以发现新大陆.但在此,我们不讨论发散思维.发散思维不能进一步帮助我们建立系统的知识。

 

 

 

2.为了系统化讨论该问题，我们对该问题加强约束条件。首先，将此问题转化为

广义切割问题：用n个平面切一个空间，最多可得多少块？

为了便于下文论述，对该问题的两个概念（空间与平面）进行假设，且在未经特殊说明的情况下，这些假设在此文讨论的范围内恒成立。

2.1.概念相对性:

任何被切割k维空间简称空间，相应的切割工具k-1维空间称平面。视讨论情况的维数而定。

2.2.区域类别约定:

该文提到的空间，平面均为线性凸开区域。（凸，开的定义与平面区域类似）

 

论述前,我先给出一个通过我的结论得出的表格(如下表),看你能否能看出其中的规律.

k\n

0  1   2    3   4    5    6     …   …

1

2

3

4

1  2   3    4   5    6    7

1  2   4    7   11   16   22

1  2   4    8   15   26   42

1  2   4    8   16   31   57

 

 

 

 

3.题设:

3.1.用n个平面切割一个k维空间所得块数为:

 

4.几个显然的结论:

4.1.当两条直线相交与一点,互相分割了对方,相当于他们的交点分别分割了这两条直线.即用一个k维直线A切割k维直线B,B被分割的块数      

等价于     

A,B的交点切割B空间的块数.

4.2.一个平面能将其经过的空间区域一分为二,因此

在已经切了n-1刀的情况下,已经有x块, 我们设想如果再切一刀(即第n刀),将增加y块 

等价于 

第k刀经过了 x块中的y块

 

 

5.用n个平面分割k维空间,首先我们分n个步骤:每次增加一个平面,(每次切一刀),重复n次.

根据结论4.2,要得到最多的块数

我们需要保证每一刀都经过尽量多的区域,

假设1.每一刀都经过现有基础条件下(前面的切割以得到的块数的条件下)的可能的最多块数.

假设2.第n刀经过区域最多为a个

根据假设1,2有

                                                   (5.1)

由于平面经过的区域会与该区域的边界相交.因此

假设2

等价于

这些区域的边界将第n个平面最多分成a块

等价于(根据结论4.1和n-1个平面组成了这些空间区域的边界)

第n个平面与其他n-1个平面的交线最多将其分成a块

等价于

n-1条直线最多将一个平面分成a块

等价于(根据说明1的概念相对性)

n-1个平面最多将一个k-1维空间分成a块

上文提到的表格就是通过该式得出来的,下面通过彩色标记来加强这一关系的表达.

k\n

0  1   2    3   4    5    6     …   …

1

2

3

4

1  2   3    4   5    6    7

1  2   4    7   11   16   22

1  2   4    8   15   26   42

1  2   4    8   16   31   57

不好意思, 各位, 公式不显示, 有兴趣的可以上我空间看http://user.qzone.qq.com/1220645790/infocenter, 或者在http://ishare.iask.sina.com.cn/f/15412823.html下载(这个比空间的详细).  改天我把它写到google文档, 这样大家更方便.