切西瓜
来源:互联网 发布:心知天气api怎么使用 编辑:程序博客网 时间:2024/04/28 13:13
一个西瓜切N刀,问最多能将其切多少块?
其实就是空间划分问题;
(1)
首先,让我们先看一下一维下的情况(N个点最多能将直线分成多少块);一个直线切N次,N=1时,直线最多被分为两块,N=2时,最多被分为三块;
N=3时,最多被分为4块,依次类推,当切N次时,最多被分为N+1块;
递推证明:
一个点最多能将一个直线分成两部分,所以有 a[n] - a[n-1] = 1;且a[1] = 2; (a[n]为切n次时最多分的块数)
所以有:
a[2] - a[1] = 1;
a[3] - a[2] = 1;
a[4] - a[5] = 1;
...................
..................
a[n] - a[n-1] = 1;
可得 a[n] = n+1;
(2)让后在看一下在二维的情况下(n个直线最多能将一个平面分成多少块);同时我们知道一个直线最多可将一个平面分成两部分;
当有n条直线时,第n条直线最多与前n-1条直线有n-1个交点;有(1)知这n-1个点最多将第n条直线分成n部分;每部分又将原来的区域一分为二;
故有: a[n] - a[n-1] = n,a[1] = 2;
所以:a[2] - a[1] = 2;
a[3] - a[2] = 3;
a[4] - a[3] =4;
.................
.................
a[n] - a[n-1] = n;
可得:a[n] = n(n+1)/2 + 1;
(3) 最后当在三维情况下(即N个平面最多能将三维空间分成多少·块-------等同于一个西瓜切n刀)
假设N-1个平面最多将其分为a[n-1]块,第n个平面加入时;最多与前n-1个平面有n-1个交线,同理这n-1条交线最多可将第n个平面分成 n(n+1)/2+1 部分;
而每个平面有能将原来的空间一分为二;所以有:
a[1] = 2;
a[n] - a[n-1] = n(n-1)/2 + 1;
所以:
a[2] - a[1] = 2;
a[3] -a[2] = 4;
a[4] - a[3] =7;
..............
................
a[n] - a[n-1] = n(n-1)/2 + 1;
可得:a[n] = n(n-1)(n+1)/6 +n + 1;
一个西瓜切N刀最多能切 n(n-1)(n+1)/6 +n +1块个;
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