浮点数的存储结构和开发时候的注意事项

 

Overview

在我们现在的计算系统中, 浮点数是以 IEEE 754  为标准的. 他的表示方式类似数学里提到的科学记数法.这种表示方式是用符号位 ( Sign )、指数 ( Exponent ) 、尾数 ( Mantissa )或者 也可以叫 Significand ( 有效位数 ) , 三者的组合来表达一个数字的.

所以最好再开始看计算机中浮点数的表示方式前.首先简单回顾一下,小时候数学课中对科学记数法的描述.随后再了解编程中的浮点数.最后再看一下常有的注意事项.

• 科学记数法 ( Scientific notation )

(大部分定义、推论.都出自 http://en.wikipedia.org )

定义:

一个数被写成一个1与10之间的实数（尾数）与一个10的幂的积,为了得到统一的表达方式,该尾数並不包括10.

比如:

782300 = 7.823 × 10⁵
0.00012 = 1.2 × 10⁻⁴
10000 = 1×10⁴

推论 (科学记数的基本计算 乘、除法) :

假设有两个以科学计数法表示的数字:

则有：

推论 (科学记数的基本计算 加、减法) :

同样先假设有两个以科学计数法表示的数字:

再做加、减法前先要把 X₁ 重新计算一下. 求出一个新的 c, 必须满足以下条件.

接着就可以得到:

举实际例子来说:

• C/C++ 程序中的浮点数

计算机程序中的浮点数的表示方式也类似上面提到的方式.只是在计算机中是以 2 为底数,而不是 10.

需要注意:

1. Intel CPU 是采用 little-endian ( The most significant byte is on the right end of a word. ) 所以在观察内存时是需要反过来读的.
2. 有一些编译器 和 平台支持精度更高的 Double-Extended
   

• C/C++ 编译器中的浮点数表示方式如下表所示.
  

  符号位 ( Sign ) 指数 ( Exponent ) 尾数 ( Mantissa ) 单精度浮点数 ( float ) 1 [31] 8 [30-23] 23 [22-00] 双精度浮点数 ( double ) 1 [63] 11 [62-52] 52 [51-00]

• 符号

符号位占用一位.在最高位. 0 表示正数. 1 表示负数.

• 指数

以 float 为例 指数位 占用 8 为, 他的表示范围是. -127 ~ +128. 但是 -127 和 +128 这 2 个数字是保留用作表示特殊状态的. ( -127 用来表示 这个是 0, 即 Zero 状态. +128 一般用来表示NaN 状态. NaN 是指 Not a Number. 不是一个实际的数字. )

这 8 位在做计算是要注意范围是从 -127 ~ +128 的,所以在计算是要减去 127.

比如有这 8位的指数2进制如下:

10000000

所以这个指数表示的是: 10000000b = 128 考虑到范围所以 128 - 127 = 1

当精度为 double 时也是这样的,只是表示范围是 -1023 ~ +1024 .

• 尾数

尾数又叫有效位数 ( Significand ), 他和 科学记数中的尾数一样是用来表示这个数字的大小 和 精确度的.
尾数的格式是 1.F. 其中 F 是对应的 小数位. 整数部分的 1 是在计算中省略的.

• 举实际例子来说

比如:

有十进制 +5.5, 则有

+5.5 = 1.375 × 2²

随后把 尾数换算成 2 进制.

1.375 = 1 .011 B  ( 即,  1 × 2¹ + 1 × 2^-2 + 1 × 2^-3)

由于 float 中尾数占用 23 位,所以要不齐那些无用的 0, 就得出 尾数为.

1 .01100000000000000000000

指数位是 2,由于 float 变换范围是 -127 ~ +128 占用 8 位. 所以指数位应该等于 2 + 127 = 10000001b

所以就有 2 进制表示.
 符号位 ( Sign ) 指数 ( Exponent ) 尾数 ( Mantissa ) 01000000101100000000000000000000

得出 +5.5 = 01000000101100000000000000000000B = 0x40B00000
因为 little-endian 的关系,所以在内存中观察是反序的,即 [ 00 00 B0 40 ]

• 开发时的注意事项

  • 比较操作
    

不可将浮点变量用 “==” 或 “！=” 与任何数字比较.千万要留意,无论是float 还是double 类型的变量,都有精度限制.
所以一定要避免将浮点变量用 “==” 或 “！=” 与数字比较,应该设法转化成 “>=” 或 “<=” 形式.

假设浮点变量的名字为x，应当将

if (x == 0.0) // 隐含错误的比较

转化为

if ((x>=-PRECISION) && (x<=PRECISION))

其中PRECISION 是允许的误差（即精度）.如果不是和 0 比较,则可用 与比较值之间的差值的绝对值与精度比较.比如: x 与 y 的比较可写成 fabs( x - y ) < PRECISION

• 位运算

正常情况下不要用 浮点数去做位运算.即使是你清楚浮点的存储结构.
理由有二. 1. 不便于他人维护代码. 2. 可能有编译器不兼容问题.

• Appendix

  • 浮点数运算的介绍http://steve.hollasch.net/cgindex/coding/ieeefloat.html
  • 浮点数转换运算的网页工具http://babbage.cs.qc.edu/IEEE-754/
  • 在 Attachments 里有 IEEE 754 的说明文件. (IEEE 754 是计算机中的浮点数标准) PS格式,可以用 GSView 浏览这个文件. (ieee754.ps )

转载：http://sites.google.com/site/whirlpoolsite/float