青蛙的约会

                                                                                                                     青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

http://poj.org/problem?id=1061

一道extended_euclid的题目，看到这道题目就有直觉要用数论的相关知识解决，extended_euclid虽然之前有看过，但是不知道怎么应用，自己找了一些资料，明白了解决这道题，具体来说是要使用到好几道公式定理的。

首先把这道题转化为相关的数学方程：(n-m)t+pL=x-y,即二元一次不定方程at+bp=c，根据数论的相关定理，得知当c%gcd(a,b)==0时方程有整数解，否则没有，即此题无解。引用以下定理

定理1 gcd(a,b)是ax+by的线性组合的最小正整数，x，y∈z;

定理2 如果ax+by=c，x，y∈z；则c%gcd==0;

定理3 如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程

ax+by=c（1）

有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为

x=x0+bt;y=y0-at;t∈z;（2）

方程at+bp=c左右两边同除以gcd(a,b),得a1t+b1p=c1,再用extended_euclid解最小正整数线性组合得一组解x1，y1，则所求方程的一组解为T=x1*c1，P=y1*c1，根据（2）式可得t的最小正整数解为（T%b1+b1）%b1，此即为可行时所求解，因为所给数据比较大，这里全部用__int64。

#include <iostream>using namespace std;__int64 t,p;__int64 euclid(__int64 a,__int64 b){if(b==0)return a;elsereturn euclid(b,a%b);}void extended_euclid(__int64 a,__int64 b){if(b==0){t=1;p=0;}else{__int64 temp;extended_euclid(b,a%b);temp=t-a/b*p;t=p;p=temp;}}int main(){__int64 x,y,n,m,L,gcd;cin>>x>>y>>m>>n>>L;if (m==n){cout<<"Impossible"<<endl;return 0;}__int64 a,b,c,c1;a=n-m;b=L;c=x-y;gcd=euclid(a,b);c1=c%gcd;if (c1!=0){cout<<"Impossible"<<endl;return 0;}c/=gcd;a/=gcd;b/=gcd;extended_euclid(a,b);t*=c;p*=c;t=(t%b+b)%b;cout<<t<<endl;return 0;}