第五章、求连续子数组的最大和

第一节、求子数组的最大和
题目描述：输入一个整形数组，数组里有正数也有负数。数组中连续的一个或多个整数组成一个子数组，每个子数组都有一个和。求所有子数组的和的最大值。要求时间复杂度为O(n)。

例如输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，和最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2，因此输出为该子数组的和18。
思路一：求一个数组的最大子数组和，如此序列1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，我想最最直观也是最野蛮的办法便是，三个for循环三层遍历，求出数组中每一个子数组的和，最终求出这些子数组的最大的一个值。记Sum[i, …, j]为数组A中第i个元素到第j个元素的和（其中0 <= i <= j < n），遍历所有可能的Sum[i, …, j]，那么时间复杂度为O（N^3）。
代码如下：

int MaxSum(int* A, int n)        {            int maximum = -INF;            int sum = 0;            for (int i = 0; i < n; i++)            {                for (int j = i; j < n; j++)                {                    for (int k = i; k <= j; k++)                    {                        sum += A[k];                    }                    if (sum > maximum)                        maximum = sum;                    sum = 0;   //这里要记得清零，否则的话sum最终存放的是所有子数组的和。也就是编程之美上所说的bug。                }            }            return maximum;        } 

1. 思路二：例如输入的数组为1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5，那么最大的子数组为3, 10, -4, 7, 2，因此输出为该子数组的和18。
   所有的东西都在以下两行，即：
   b  ：  0  1  -1  3  13   9  16  18  13  
   sum：  0  1   1  3  13  13  16  18  18
   其实算法很简单，当前面的几个数，加起来后，b<0后，把b重新赋值，置为下一个元素，b=a[i]。当b>sum，则更新sum=b;若b<sum，则sum保持原值，不更新.
   代码如下：
   

   #include <iostream.h>using namespace std;int maxSum(int* a, int n){int sum=0;int b=0;for(int i=0; i<n; i++){if(b<0)           b=a[i];elseb+=a[i];if(sum<b)sum=b;}return sum;}int main(){    int a[10]={1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5};    cout<<maxSum(a,8)<<endl;    return 0;}

   由于在上述过程中没有考虑全是负数的情况，我们假设如果数组全部是负数的话，那么返回值就返回负数中的最大值。
   代码修改如下：
   

   #include <iostream.h>using namespace std;int maxsum(int *a,int n)  {    int max=a[0];       //全负情况，返回最大数    int sum=0;    for(int j=0;j<n;j++)    {        if(sum>=0)     //如果加上某个元素，sum>=0的话，就加            sum+=a[j];        else               sum=a[j];  //如果加上某个元素，sum<0了，就不加        if(sum>max)            max=sum;    }    return max;}int main(){    int a[]={-1,-2,-3,-4};    cout<<maxsum(a)<<endl;    return 0;}

   
   思路三：DP解法的具体过程：设sum[i] 为前i个元素中，包含第i个元素且和最大的连续子数组，result 为已找到的子数组中和最大的。对第i+1个元素有两种选择：做为新子数组的第一个元素、放入前面找到的子数组。
   sum[i+1] = max(a[i+1], sum[i] + a[i+1])；result = max(result, sum[i]);
   代码如下：
   

   #include <iostream.h>using namespace std;int maxsum(int *a,int n)          {            int *sum = new int[n];            int result=a[0];            int sum[0] = a[0];            for(int j=1;j<n;j++)            {                sum[j] = max(a[j],sum[j] + a[j]);      //max(a,b),返回a,b中大的数                result = max(reslut,sum[j]);            }            delete[] sum;            return result;        }int main(){    int a[]={-1,-2,-3,-4};    cout<<maxsum(a)<<endl;    return 0;}

   
   第二节、Data structures and Algorithm analysis in C

   下面给出《Data structures and Algorithm analysis in C》中4种实现。
   

   //Algorithm 1:时间效率为O(n*n*n)int MaxSubsequenceSum1(const int A[],int N){int ThisSum=0 ,MaxSum=0,i,j,k;for(i=0;i<N;i++)for(j=i;j<N;j++){ThisSum=0;for(k=i;k<j;k++)ThisSum+=A[k];if(ThisSum>MaxSum)MaxSum=ThisSum;}return MaxSum;}//Algorithm 2:时间效率为O(n*n)int MaxSubsequenceSum2(const int A[],int N){int ThisSum=0,MaxSum=0,i,j,k;for(i=0;i<N;i++){ThisSum=0;for(j=i;j<N;j++){ThisSum+=A[j];if(ThisSum>MaxSum)MaxSum=ThisSum;}}return MaxSum;}//Algorithm 3:时间效率为O(n*log n)//算法3的主要思想：采用二分策略，将序列分成左右两份。//那么最长子序列有三种可能出现的情况，即//【1】只出现在左部分.//【2】只出现在右部分。//【3】出现在中间，同时涉及到左右两部分。//分情况讨论之。static int MaxSubSum(const int A[],int Left,int Right){int MaxLeftSum,MaxRightSum;              //左、右部分最大连续子序列值。对应情况【1】、【2】int MaxLeftBorderSum,MaxRightBorderSum;  //从中间分别到左右两侧的最大连续子序列值，对应case【3】。int LeftBorderSum,RightBorderSum;int Center,i;if(Left == Right)Base Caseif(A[Left]>0)return A[Left];elsereturn 0;Center=(Left+Right)/2;MaxLeftSum=MaxSubSum(A,Left,Center);MaxRightSum=MaxSubSum(A,Center+1,Right);MaxLeftBorderSum=0;LeftBorderSum=0;for(i=Center;i>=Left;i--){LeftBorderSum+=A[i];if(LeftBorderSum>MaxLeftBorderSum)MaxLeftBorderSum=LeftBorderSum;}MaxRightBorderSum=0;RightBorderSum=0;for(i=Center+1;i<=Right;i++){RightBorderSum+=A[i];if(RightBorderSum>MaxRightBorderSum)MaxRightBorderSum=RightBorderSum;}int max1=MaxLeftSum>MaxRightSum?MaxLeftSum:MaxRightSum;int max2=MaxLeftBorderSum+MaxRightBorderSum;return max1>max2?max1:max2;}//Algorithm 4:时间效率为O(n)//同上述第一节中的思路2、和3。int MaxSubsequenceSum(const int A[],int N){int ThisSum,MaxSum,j;ThisSum=MaxSum=0;for(j=0;j<N;j++){ThisSum+=A[j];if(ThisSum>MaxSum)MaxSum=ThisSum;else if(ThisSum<0)ThisSum=0;}return MaxSum;}