HDU1281-棋盘游戏-二分匹配与增广链

 题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1281

 

题目描述：

在一个N*M大小的棋盘中，有K个空位置，（1）在这些空位置上最多能放多少的“车”（一行或一列最多一个）。（2）空位置中，有的位置若不放“车”，就无法保证放尽量多的“车”，这样的格子被称做重要点，求重要点的个数

 

思考过程：

这题可以看成行与列的二分匹配问题，因为每行每列至多只能放一个棋子。第i行与j列匹配代表棋盘第ｉ行ｊ列这个位置放棋子。那么，棋盘上的点就是二分图的边；“车”的个数就是二分图的最大匹配数。题目的关键是求重要点。现假设最大匹配数为ans，且已经求出某一种匹配策略。
1 ：枚举所有可以放的点，去掉某一点后（这里的点指棋盘上的点，也就是二分图的边），就得到一个新的二分图了
　　 if  (新二分图的最大匹配数　=＝　ans）

                 then 这个点不是重要点
　　 else // 即新的二分图达不到ans这个匹配数，那么这个点就是必须放的，否则达不到ans。 -->重要边
　　          then 计数+1
2 : 但是这样枚举效率太低。实际上，删边只需考虑求出的匹配边（因为删除非匹配边得到的匹配数不变）。这样，只需删除ans条边，复杂度就降低了。
    再进一步分析，删除一条边以后，没有必要重新求删边后新的二分图的最大匹配，只需检查删边后的匹配中--->可不可以再找到新的增广链就可以了。这样，时间复杂度就进一步降到了。
3 : 这样的优化是不可取的：
    在判断是否存在增广路得时候，不能只以删除的匹配边的顶点作起点来找增广路
    正确的方法是：以删边后新的二分图的所有未匹配顶点出发做增广，都找不到增广路，匹配不能再增加

代码

#include <iostream>using namespace std;const int MAXN = 105;int N, M;   bool map[MAXN][MAXN];int xM[MAXN], yM[MAXN]; bool chk[MAXN];bool SearchPath(int &u,bool &flag);int MaxMatch();bool Can();int main(){    int i,a,b,K,ans,Case = 0;while(cin>>N>>M>>K)    {//初始化        N--;M--;Case++;        memset(map,0,sizeof(map));        for (i = 0; i < K; i++)        {cin>>a>>b;            map[--a][--b] = 1;        }//二分匹配，求最大匹配数        ans = MaxMatch();            int tmp,num = 0;        for (int u = 0; u <= N; u++)        {//是一条匹配边            if (xM[u] != -1)            {//删除这条匹配边                tmp = xM[u];                xM[u] = -1;                yM[tmp] = -1;                map[u][tmp] = 0;//是否找到新的增广路                if (!Can())num++;//恢复这条边                xM[u] = tmp;                yM[tmp] = u;                map[u][tmp] = 1;            }        }//输出结果cout<<"Board "<<Case<<" have "<<num<<" important blanks for "<<ans<<" chessmen."<<endl;}    return 0;}//二分匹配，求最大匹配数，这个过程类似于DFSint MaxMatch(){//初始化    int u, ret = 0 ;    bool flag = true;    memset(xM, -1, sizeof (xM));    memset(yM, -1, sizeof (yM));    //对每个未匹配的顶点进行尝试匹配    for(u = 0; u <= N; u++)    {//若顶点还没有找到匹配        if(xM[u] == -1)        {//初始化            memset(chk, false, sizeof (chk));//尝试匹配，若成功，计数+1            if(SearchPath(u,flag)) ret++;        }    }    return ret;}//尝试匹配bool SearchPath(int &u,bool &flag){    int v;    for(v = 0; v <= M; v++)    {        if(map[u][v] && !chk[v])        {            chk[v] = true;            if(yM[v] == -1 || SearchPath(yM[v],flag))            {                if (flag)                {                    yM[v] = u; xM[u] = v;                }                return true ;            }        }    }    return false ;}//是否找到新的增广路bool Can(){    int u;    bool flag = false;  //以对所有未匹配的顶点进行尝试匹配    for(u = 0; u <= N; u++)    {        if(xM[u] == -1)        {            memset(chk, false, sizeof (chk));//找到一条增广路            if(SearchPath(u,flag))                 return true;        }    }    return false;}

总结：

复习了一下二分匹配算法

求二分匹配增广路的方法很巧妙

二分匹配算法的模版待整理