关于抽屉原理

关于整除问题

     a.任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数

        例1：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。

        证明：这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6                   分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两                   个数的差一定是7的倍数。

        例2：任意给定7 个不同的自然数，求证其中必有两整数，其和或差是10的倍数。

     证明：将自然数以对10求余0，1，…，9为标准制造10个抽屉，标以[0]，[1]，…，[9]分两种情况

                   1.若7个数种存在两个数在一个抽屉，那么这两个数之差是10的倍数，符合情况；

                   2.若10个抽屉中至多有一个数，把自然数分成六组:

              1) 余数为: 0; 

              2) 余数为: [1]，[9]; 
              3) 余数为: [2]，[8]; 
              4) 余数为: [3]，[7]; 
              5) 余数为: [4]，[6]; 

              6) 余数为: 5;

             那么7个数必有2个数在一个组里，由于这两个数的和必是10的倍数

     证明完毕...

    例3：证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。

       在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。考虑A点与其余各点间的5条连线AB，AC，…，AF，它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB，AC，AD同为红色。如果BC，BD ，CD 3条连线中有一条（不妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，A、B、C代表的3个人以前彼此相识：如果BC、BD、CD 3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符合问题的结论。

　例4：某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。

　　分析与解答 共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次，即这个人与其他校友都没有握过手；最多有n-1次，即这个人与每位到会校友都握了手.然而，如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-2次；如果有一个校友握手的次数是n-1次，那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、2、…、n-2，还是后一种状态1、2、3、…、n-1，握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。