母函数

网上找的一篇讲组合数学的文章，讲的很不错

 

 先来说一说母函数，今天是第一次学。杭电关于母函数的PPT感觉不错，挺适合入门看看的。

什么是母函数？对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：G(x)=a0+a1*x+a2*x^2+...G(x)就是序列a0,a1...的母函数。如若已知序列a0，a1，a2，…则对应的母函数G(x)便可根据定义给出。 反之，如若已经求得序列的母函数G(x)，则该序列也随之确定。 序列a0，a1，a2，…可记为{an} 

如何用母函数来解决诸如整数拆分、邮票组合、砝码称重一类的问题？这一类问题大致是需要找到整数拆分的方案数，邮票可以组合出多少面额，某一种重量可以由多少种砝码组合来完成称重……当然利用类似动态规划的思想往往也可以解决这类问题，下面讨论怎么使用母函数来完成。

下面这个例子来自HDU集训的PPT

“例1：若有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚，能称出哪几种重量？各有几种可能方案？ 
如何解决这个问题呢？考虑构造母函数。如果用x的指数表示称出的重量，则：
  1个1克的砝码可以用函数1+x表示，1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，
  1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，
几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：
(1+x)(1+x^2)(1+x^3)(1+x^4)
=(1+x+x^2+x^3)(1+x3+x^4+x^7)
=1+x+x^2+2x^3+2x^4+2x^5+2x^6+2x^7+x^8+x^9+x^10  
从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。
”

理解了这个例子之后整数拆分、邮票组合、砝码称重一类的问题就都一并解决了。

下面来是我对这种母函数构造方式的理解。

对于上面的例1，如果取消砝码个数的限制，则母函数变为G(x)=(1+x+x^2+,,,,,)(1+x^2+x^4+...)(1+x^3+x^6+...)(1+x^4+x^8+..)

若要称量重量M，那么这个质量M就对应母函数展开后的x^M项。而x^M项的指数M按照数学上的展开来理解是什么来的呢？

假设M=14，我们用1个1g砝码，1个2g砝码，1个3g砝码和2个4g砝码。则可以看做是从G(x)=(1+x+x^2+,,,,,)(1+x^2+x^4+...)(1+x^3+x^6+...)(1+x^4+x^8+..)的每一个括号(每个括号分别对应1g, 2g, 3g, 4g砝码单独可以组合出哪些质量)里取出了x, x^2, x^3, x^8。然后意会一下为什么x^M项对应的系数就是称量质量M的方案数了。如果理解的话这一类问题就都可以做了。

实现起来，展开G(x)函数的时候就是按照平时自己手工怎么展开来做的。

两个母函数练手题，性质都是一样的

HDU1085（母函数） Holding Bin-Laden Captive!

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1085

硬币面额1,2,5且有数量限制num1,num2,num3，问最小不能组合的数量是多少。

G(x)=(1+x+...+x^num1)(1+x^2+...+x^2num2)(1+x^5+,,,+x^5num3)，展开，系数不为0的数都是可以由硬币组合出来的。

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1. #include <cstdio>  
2. #include <cstring>  
3. using namespace std;  
4.   
5. const int maxexp=1*1000+2*1000+5*1000+10;//可能的最大系数  
6.   
7. int main()  
8. {  
9.     int n1, n2, n3;  
10.     bool f;  
11.     int c1[maxexp+1], c2[maxexp+1], c3[maxexp+1];   
12.     //c[i]表示x的i次方的系数  
13.     while (scanf("%d%d%d", &n1, &n2, &n3)==3 && n1+n2+n3>0)  
14.     {  
15.         memset(c1, 0, sizeof(c1));  
16.         memset(c2, 0, sizeof(c2));  
17.         memset(c3, 0, sizeof(c3));  
18.         for (int i=0; i<=n1; i++)  //1+x+x^2+...+x^n1  
19.             c1[i]=1;        //开始时系数全为一  
20.         for (int j=0; j<=n1; j++)  
21.             for (int k=0; k<=2*n2; k+=2)  //1+x^2+...+x^(2*n2)  
22.                     c2[j+k]+=c1[j];  
23.         for (int j=0; j<=n1+2*n2; j++)    //此时x的幂最大是n1+2*n2  
24.             for (int k=0; k<=5*n3; k+=5)  //1+x^2+...+x^(5*n2)  
25.                     c3[j+k]+=c2[j];  
26.         f=false;  
27.         for (int j=0; j<=n1+2*n2+5*n3; j++)//n1+2*n2+3*n3是此时x的最大幂  
28.             if (c3[j]==0)  
29.             {  
30.                 printf("%d\n", j);  
31.                 f=true;  
32.                 break;  
33.             }  
34.         if (!f) printf("%d\n", n1+2*n2+5*n3+1);  
35.     }  
36.     return 0;  
37. }  

HDU1028（母函数） Ignatius and the Princess III

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1028

整数拆分。由于拆分结果只考虑有几个1几个2几个3...不考虑顺序什么的，那么问题就和之前的砝码邮票什么的一样了。

G(x)=(1+x+...)(1+x^2+...)(1+x^3....)...(1+x^n)

n最大120，可以预处理一下保存结果，也可以一边输入一边重新算，反正n很小……

 

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1. #include <cstdio>  
2. #include <cstring>  
3. using namespace std;  
4.   
5. const int maxexp=120;  
6.   
7. int main()  
8. {  
9.     int n, now, pre;  
10.     int f[2][maxexp+1];                         //"滚筒"使用   
11.       
12.     while (scanf("%d", &n)==1)  
13.     {  
14.         memset(f, 0, sizeof(f));  
15.         for (int i=0; i<=n; i++)                //1+x+x^2+...+x^n  
16.             f[1%2][i]=1;  
17.         for (int i=2; i<=n; i++)  
18.         {  
19.             now=i%2; pre=(i-1)%2;  
20.             for (int j=0; j<=n; j++)  
21.                 f[now][j]=0;  
22.             for (int j=0; j<=n; j++)            //枚举之前结果  
23.                 for (int k=0; k+j<=n; k+=i)     //枚举当前多项式 1+x^i+x^2i+...   
24.                 {  
25.                     f[now][j+k]+=f[pre][j];             //中间结果保存在c2   
26.                 }  
27.         }  
28.         printf("%d\n", f[n%2][n]);  
29.     }  
30.     return 0;  
31. }