一个有趣的结构——Treap

如果将一个含有n个元素的集合插入到一课二叉查找树中，所得到的树可能会非常不平衡，从而导致查找时间过长。例如一个集合是一列逆序排列的有序序列，那么在按顺序将这个集合的元素插入到一棵空的二叉查找树时，就会导致这课二叉查找数是一棵只有左子树的树，查找起来的速度并没有像预想中的那样快。因此，一般来说，要为一组固定的元素建立一棵较为平衡的二叉排序树的话，可以采用一种策略就是先随机排列这些元素，然后再按照排列完的顺序将它们插入到树中，这就是随机建立二叉排序树。

但是，如果我们一次只可以得到集合中的一个元素，那么就没办法说先随机地排列他们了，这时候要怎么办，才可以保证创建出来的二叉排序树，可以不要太过于不平衡呢？

接下来就是这次的主角，Treap结构出场的时候了。这个结构也是一课二叉树。一棵treap是一棵修改了结点顺序的二叉排序树。树中的每个结点除了有一个关键字值key[x]外，还有一个数据域优先级priority[x],它是一个独立选取的随机数。

假设所有的优先级都是不同的，所有的关键字也都是不同的。

那么Treap这个结构，它的结点排列成让关键字遵循二叉排序树的性质，并且优先级遵循最小堆的性质：

• If v is a left child ofu, thenkey[v]<key[u].

• If v is a right child ofu, thenkey[v]>key[u].

• If v is a child ofu, thenpriority[v]>priority[u].

这也是这个结构的名称为什么叫Treap的原因，既有tree又有heap。

上面是一个例子，每个结点中都有两个域，左边是关键字值，右边是优先级。

可以证明treap的期望高度是lgn,所以在treap内查找一个值所花的时间为[c1*lgn,c2*lgn];

接下来看看怎么在这个结构中进行几个基本操作。

搜索就不用说了，和一般的二叉排序树一样。

插入的话，先和一般的二叉排序树一样，找到可插入的位置，并插入，插入后，需要再调用一个辅助函数，来维护这个结构的优先级的性质，也就是要维护最小堆的性质。

从该结点一直向上调整，调整的过程是利用旋转来实现的，依旧是左旋转和右旋转。

判断该结点和它的父节点的优先级随机数的值，如果小于父节点的优先级的话，那么就要通过旋转来调整他们之间的位置，

当该节点是父节点的左孩子时，就用右旋转，是父节点的右孩子时，就用左旋转。

调整的终止条件就是，当它的父节点为空时(规定根节点的父节点为空)，或者已经满足该结点的优先级随机数大于父节点的优先级随机数。

删除操作的话，就和二叉排序树的一样，在删除的时候，当该结点左右子树都存在的时候，需要用该结点的直接后继或者直接前驱的值来给这个结点，然后再删除它的直接后继或者直接前驱，在赋值的时候，只要将该结点的直接后继或者直接前驱的关键字值复制就行，优先级随机数不复制，这样在删除了之后，treap的各个结点的优先级性质没有改变，不需要再对它进行调整，可以节省一些时间。

由于这个结构的实现只是对BST进行一些简单的修改而已，各个基本操作的思想也不复杂，所以在这里就不给出实现代码了，因为我自己也没写。有兴趣的朋友可以写一下。

最后再贴出插入操作过程的几张图片：

最后在插入F:2这个结点的时候，图中并没有给出调整过程，大家可以在纸上自己画一下。个人还是觉得这个结构挺有趣的，所以介绍给大家认识。