算法设计中的排列问题

 [排列] 通常我们希望检查n 个不同元素的所有排列方式以确定一个最佳的排列。比如，
a，b 和c 的排列方式有：a b c, a c b, b a c, b c a, cab 和c b a。n 个元素的排列方式共有n ！种。
由于采用非递归的C + +函数来输出n 个元素的所有排列方式很困难，所以可以开发一个递
归函数来实现。令E= {e , ..., e }表示n 个元素的集合，我们的目标是生成该集合的所有排列方
1  n
式。令E 为E中移去元素i 以后所获得的集合，perm (X) 表示集合X 中元素的排列方式，e . p e r m
i i
(X)表示在perm (X) 中的每个排列方式的前面均加上 e 以后所得到的排列方式。例如，如果
i
E= {a, b, c}，那么E = {b, c}，perm (E ) = (b c, c b)，e .perm (E ) = (a b c, a c b)。
1 1  1  1
对于递归的基本部分，采用 n= 1。当只有一个元素时，只可能产生一种排列方式，所以
perm (E) = (e)，其中e 是E 中的唯一元素。当 n> 1时，perm (E) = e .perm (E ) +e .p e r m
1  1  2
(E ) +e .perm (E ) +?+e .perm (E )。这种递归定义形式是采用n 个perm (X) 来定义perm (E), 其
2 3 3 n  n
中每个X 包含n- 1个元素。至此，一个完整的递归定义所需要的基本部分和递归部分都已完成。

当n= 3并且E=（a, b, c）时，按照前面的递归定义可得perm (E) =a.perm ( {b, c} ) +b.perm ( {a,
c} ) +c.perm ( {a, b} )。同样，按照递归定义有 perm ( {b, c} ) =b.perm ( {c} ) +c.perm ( {b}), 所以
a.perm ( {b, c} ) = ab.perm ( {c} ) + ac.perm ( {b}) = a b . c + ac.b = (a b c, a c b)。同理可得
b.perm  ( {a, c}) = ba.perm ( {c}) + bc.perm ( {a}) = b a . c + b c . a = (b a c, b c a)，c.perm ( {a, b}) =
ca.perm ( {b}) + cb.perm ( {a}) = c a . b + c b . a = (c a b, c b a)。所以perm (E) = (a b c, a c b, b a c, b c a,
c a b, c b a)。
注意a.perm ( {b, c} )实际上包含两个排列方式：abc 和a c b，a 是它们的前缀，perm ( {b, c} )
是它们的后缀。同样地，ac.perm ( {b}) 表示前缀为a c、后缀为perm ( {b}) 的排列方式。
程序1 - 1 0把上述perm (E) 的递归定义转变成一个C++ 函数，这段代码输出所有前缀为l i s t [ 0：
k-1], 后缀为l i s t [ k：m] 的排列方式。调用Perm(list, 0, n-1) 将得到list[0: n-1] 的所有n! 个排列方
式，在该调用中，k=0, m=n - 1，因此排列方式的前缀为空，后缀为list[0: n-1] 产生的所有排列
方式。当k=m 时，仅有一个后缀l i s t [ m ]，因此list[0: m] 即是所要产生的输出。当k<m时，先
用list[k] 与l i s t [ k：m] 中的每个元素进行交换，然后产生list[k+1: m] 的所有排列方式，并用它
作为list[0: k] 的后缀。S w a p是一个inline 函数，它被用来交换两个变量的值，P e r m的正确性可用归纳法来证明。

template<class T>
void Perm(T list[], int k, int m)
{ / /生成list [k：m ]的所有排列方式
int i;
if (k == m)  {//输出一个排列方式
for (i = 0; i <= m; i++)
cout << list [i];
cout << endl;
}
else  // list[k：m ]有多个排列方式
// 递归地产生这些排列方式
for (i=k; i <= m; i++) {
Swap (list[k], list[i]);
Perm (list, k+1, m);
Swap (list [k], list [i]);
}
}

 

template <class T>
inline void Swap(T& a, T& b)
{// 交换a和b
T temp = a; a = b; b = temp;
}

 

 

循环交换部分 比较难理解。仔细想了一下，实际上就是对

a.perm ( {b, c} ) +b.perm ( {a,
c} ) +c.perm ( {a, b} )。这个公式的实现。