二叉排序(查找)树

二叉排序树


1.定义


     二叉排序树(Binary Search Tree)又称二叉搜索(查找)树，其定义如下：


    (1)若它的左子树非空，则左子树上所有结点的权值都比根结点的权值小;


    (2)若它的右子数非空，则右子树上所有结点的权值都比根结点的权值大;


    (3)左、右子树本身又是一棵二叉排序树。


以上既是二叉排序树的定义，同时也是它的性质。从定义可以看出，二叉排序树的定义是一个递归的定义。对于一棵二叉排序树的中序遍历则是一个递增有序序列。


2.二叉排序树的插入Insert


   根据二叉排序树的递归定义，进行插入操作的时候可以用递归实现，其插入过程如下：


   (1)如果二叉排序树为空，则创建一个关键字为key的结点，并将其作为根结点;


   (2)否则将key和根结点的key值比较，若相等则返回;


       1)若key值小于根结点的key值，判断根结点的左孩子是否为空，如果为空，则创建一个关键字为key的结点，并将该结点作为根结点的左孩子;如果不为空，则递归插入到该根结点的左子树当中。


       2)若key值大于根结点的key值，判断根结点的右孩子是否为空，如果为空，则创建一个关键字为key的结点，并将该结点作为根结点的右孩子;如果不为空，则递归插入到该根结点的右子树当中。
递归实现：
void insert(BSTNode *&root,ElemType key)      //


注意这里为什么用指针的引用 
{ 
    if(root==NULL)                //如果该树为空 
    { 
        root=(BSTNode *)malloc(sizeof(BSTNode)); 
        root->key=key; 
        root->left=NULL; 
        root->right=NULL; 
    } 
    else
    { 
        if(root->key==key) 
            return; 
        else if(root->key>key)   //key小于根结点的权值 
        { 
            if(root->left==NULL)    //root的左孩子为空，则创建一个结点作为root的左孩子 
            { 
                BSTNode *p=(BSTNode *)malloc(sizeof(BSTNode)); 
                p->key=key; 
                p->left=NULL; 
                p->right=NULL; 
                root->left=p; 
            } 
            else
                insert(root->left,key);   //递归插入到左子树中 
        } 
        else                     //key大于根结点的权值 
        { 
            if(root->right==NULL)    //root的右孩子为空，则创建一个结点作为root的右孩子 
            { 
                BSTNode *p=(BSTNode *)malloc(sizeof(BSTNode)); 
                p->key=key; 
                p->left=NULL; 
                p->right=NULL; 
                root->right=p; 
            } 
            else
                insert(root->right,key);   //递归插入到右子树中 
        } 
    } 
} 


非递归实现：


void insert(BSTNode *&root,ElemType key) 
{ 
    if(root==NULL) 
    { 
        root=(BSTNode *)malloc(sizeof(BSTNode)); 
        root->key=key; 
        root->left=NULL; 
        root->right=NULL; 
        return; 
    } 
    BSTNode *p1,*p2; 
    int flag; 
    p1=root; 
    while(p1!=NULL) 
    { 
        p2=p1; 
        if(key==p1->key) 
            return; 
        else if(key<p1->key) 
        { 
            p1=p1->left; 
            flag=0; 
        } 
        else
        { 
            p1=p1->right; 
            flag=1; 
        } 
    } 
    BSTNode *p=(BSTNode *)malloc(sizeof(BSTNode)); 
    p->key=key; 
    p->left=NULL; 
    p->right=NULL; 
    if(flag==0) 
        p2->left=p; 
    else
        p2->right=p;  
} 


3.二叉排序树的查找


  最坏情况的查找是二叉排序树行成的是一个高度为n的线性树，其平均查找长度跟顺序查找的相同，为n+1/2;
 最好情况是与二分判定树形态相同，其平均查找长度和二分查找相同为logn;


BSTNode* search(BSTNode *root,ElemType key) 
{ 
   if(root==NULL||root->key==key) 
       return root; 
   else if(key<root->key) 
       search(root->left,key); 
   else
       search(root->right,key); 
 } 


BSTNode* search(BSTNode *root,ElemType key) 
{ 
    if(root==NULL||root->key==key) 
        return root; 
    BSTNode *p=root; 
    while(p!=NULL&&key!=p->key) 
    { 
        if(key<p->key) 
            p=p->left; 
        else 
            p=p->right; 
    } 
    return p; 
} 


关于二叉排序树的运用可以看一下POJ2418


http://poj.org/problem?id=2418


这道题目有2种解法，一种是采用二叉排序树去实现，一种是直接采用STL模板实现，下面只给出STL的实现。


#include<iostream> 
#include<string> 
#include<map> 
#include<algorithm> 
using namespace std; 
  
int main(void) 
{ 
    int i; 
    int n=0; 
    map<string,int> tree; 
    map<string,int>::iterator it; 
    char str[31]; 
    while(gets(str)) 
    { 
        string name; 
        for(i=0;str[i]!='\0';i++) 
        { 
            name+=str[i]; 
        } 
        tree[name]++;      //map<string,int>若没有赋初值，则value值默认为0 
        n++; 
    } 
    for(it=tree.begin();it!=tree.end();it++) 
    { 
        cout<<it->first; 
        printf(" %.4lf\n",100*(double)(it->second)/n); 
    } 
    return 0; 
}