排序算法系列之二叉查找树
来源:互联网 发布:手机点位图软件 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 05:09
排序算法系列之二叉查找树
基本概念
二叉查找树(Binary Search Tree),或者是一棵空树,或者是具有下列性质的二叉树:
- 若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;
- 若它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值;
- 它的左、右子树也分别为二叉排序树。
序列:1 3 4 6 7 8 10 13 14 序列:2 3 4 6 7 9 13 15 17 18 20
通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列,一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列,构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点,在进行插入操作时,不必移动其它结点,只需改动某个结点的指针,由空变为非空即可。
二叉查找树查找算法思想
在二叉查找树b中查找x的过程为:
- 若b是空树,则搜索失败,否则:
- 若x等于b的根节点的数据域之值,则查找成功;否则:
- 若x小于b的根节点的数据域之值,则搜索左子树;否则:
- 查找右子树。
举例图:
二叉查找树插入算法思想
向一个二叉查找树b中插入一个节点s的算法,过程为:
- 若b是空树,则将s所指结点作为根节点插入,否则:
- 若s->data等于b的根节点的数据域之值,则返回,否则:
- 若s->data小于b的根节点的数据域之值,则把s所指节点插入到左子树中,否则:
- 把s所指节点插入到右子树中。
举例图:
二叉查找树删除算法思想
在二叉排序树删去一个结点,分三种情况讨论:
- 若*p结点为叶子结点,即PL(左子树)和PR(右子树)均为空树。由于删去叶子结点不破坏整棵树的结构,则只需修改其双亲结点的指针即可。
- 若*p结点只有左子树PL或右子树PR,此时只要令PL或PR直接成为其双亲结点*f的左子树(当*p是左子树)或右子树(当*p是右子树)即可,作此修改也不破坏二叉排序树的特性。
- 若*p结点的左子树和右子树均不空。在删去*p之后,为保持其它元素之间的相对位置不变,可按中序遍历保持有序进行调整,可以有两种做法:其一是令*p的左子树为*f的左/右(依*p是*f的左子树还是右子树而定)子树,*s为*p左子树的最右下的结点,而*p的右子树为*s的右子树;其二是令*p的直接前驱(或直接后继)替代*p,然后再从二叉排序树中删去它的直接前驱(或直接后继)。
举例图:删除节点值 6。方便记忆:节点6的右孩子直接替换删除节点,节点6的左孩子挂在节点6的右孩子上。
二叉查找树性能分析
每个结点的为该结点的层次数。最坏情况下,当先后插入的关键字有序时,构成的二叉排序树蜕变为单支树,树的深度为,其平均查找长度为(和顺序查找相同),最好的情况是二叉排序树的形态和折半查找的判定树相同,其平均查找长度和成正比。
二叉查找树C语言实现
代码来自http://chiyx.iteye.com/blog/1628947
c语言.h代码
/*file:biTree.h*/#ifndef CHIYX_BITREE#define CHIYX_BITREE#ifndef NULL#define NULL 0#endiftypedef int DataType;//二叉树的节点结构typedef struct BiTreeNode {DataType data;struct BiTreeNode *parent;struct BiTreeNode *left;struct BiTreeNode *right;}BiTreeNode, *BiTree;//查找:返回第一个等于data域等于key的节点,不存在返回NULLBiTreeNode *search(BiTree *biTree, DataType key);//返回二叉树的最小节点,空树返回NULLBiTreeNode *minImum(BiTree *biTree);//返回二叉树的最大节点,空树返回NULLBiTreeNode *maxImum(BiTree *biTree);//返回节点x的后继节点,不存在后继(节点x为最大节点)返回NULLBiTreeNode *successor(BiTreeNode *x);//返回节点x的前驱节点,不存在前驱(节点x为最小节点)返回NULLBiTreeNode *predecessor(BiTreeNode *x);//将值data插入到二叉树中(生成一个值为data的节点)void insertNode(BiTree *biTree, DataType data);//删除一个值为data的节点void deleteNode(BiTree *biTree, DataType data);//中序遍历二叉树void inorderTraversal(BiTree *biTree, void (*visitor)(BiTreeNode *node));#endif
C语言实现代码:
/*file:biTree.c*/#include <stdlib.h>#include "biTree.h"//查找:返回第一个等于data域等于key的节点,不存在返回NULLBiTreeNode *search(BiTree *biTree, DataType key) {BiTreeNode *curNode = *biTree;while (curNode != NULL && curNode->data != key) {if (key < curNode->data) {curNode = curNode->left;} else {curNode = curNode->right;}}return curNode;}//返回二叉树的最小节点,空树返回NULLBiTreeNode *minImum(BiTree *biTree) {BiTreeNode *curNode = *biTree;while (curNode != NULL && curNode->left != NULL) {curNode = curNode->left;}return curNode;}//返回二叉树的最大节点,空树返回NULLBiTreeNode *maxImum(BiTree *biTree) {BiTreeNode *curNode = *biTree;while (curNode != NULL && curNode->right != NULL) {curNode = curNode->right;}return curNode;}//返回节点x的后继节点,不存在后继(节点x为最大节点)返回NULLBiTreeNode *successor(BiTreeNode *x) { if (x == NULL) return NULL;//存在右子树,则后继节点为其右子树中最小的节点if (x != NULL && x->right != NULL) {return minImum(&(x->right));}while (x->parent != NULL && x->parent->right == x) {x = x->parent;}return x->parent; //错误版本为 x, 此处应该返回父结点}//返回节点x的前驱节点,不存在前驱(节点x为最小节点)返回NULLBiTreeNode *predecessor(BiTreeNode *x) { if (x == NULL) return NULL;//存在左子树,则后继节点为其左子树中最大的节点if (x != NULL && x->left != NULL) {return maxImum(&(x->left));}while (x->parent != NULL && x->parent->left == x) {x = x->parent;}return x->parent; //错误版本为 x, 此处应该返回父结点}void insertNode(BiTree *biTree, DataType data) {//创建节点BiTreeNode *targetNode;targetNode = (BiTreeNode *)malloc(sizeof(BiTreeNode));//没有足够内存if (targetNode == NULL) return;targetNode->data = data;targetNode->parent = NULL;targetNode->left = NULL;targetNode->right = NULL;BiTreeNode *p, *y; p = *biTree;y = NULL;while (p != NULL ) {y = p;if (targetNode->data < p->data) {p = p->left;} else {p = p->right;}}//空树,将新节点置为树根if (y == NULL) {*biTree = targetNode;} else {if (targetNode->data < y->data) {y->left = targetNode;} else {y->right = targetNode;}}targetNode->parent = y;}//删除一个值为data的节点void deleteNode(BiTree *biTree, DataType data) {//查找待删除的节点BiTreeNode *targetNode, *x, *y;targetNode = search(biTree, data);if (targetNode == NULL) return;//找出真正的删除节点,如果目标节点最多只有一个子树,则其为真正删除的节点//否则其后继节点(最多只有一个子树,想想为什么)为真正删除的节点,然后将后继节点的值赋给目标节点if (targetNode->left == NULL || targetNode->right == NULL) {y = targetNode;} else {y = successor(targetNode);}if (y->left != NULL) {x = y->left;} else {x = y->right;}if (x != NULL) {x->parent = y->parent;}//如果y是根节点, 则根节点变为xif (y->parent == NULL) {*biTree = x;} else {if (y->parent->right == y) {y->parent->right = x;} else {y->parent->left = x;}}if (y != targetNode) {targetNode->data = y->data;} //释放y占有的空间free(y);}//中序遍历二叉树void inorderTraversal(BiTree *biTree, void (*visitor)(BiTreeNode *node)) {BiTreeNode *curNode;curNode = *biTree;if (curNode != NULL) {//遍历左子树inorderTraversal(&(curNode->left), visitor);//访问节点visitor(curNode);//遍历右子树inorderTraversal(&(curNode->right), visitor);}}
#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include "biTree.h"#define N 10void printNode(BiTreeNode *node);int main(int argc, char *argv[]) {BiTreeNode *root;int i;root = NULL;int data[N] = {10, 23, 11, 98, 111, 87, 34, 11, 33, 8};for (i = 0; i < N; i++) {insertNode(&root, data[i]);}printf("before delete:\n");inorderTraversal(&root, printNode);printf("\n");deleteNode(&root, 11);deleteNode(&root, 8);printf("after delete:\n");inorderTraversal(&root, printNode);printf("\n");exit(0);}void printNode(BiTreeNode *node) {printf("%d\t", node->data);}
二叉查找树优化
虽然二叉排序树的最坏效率是O(n),但它支持动态查询,且有很多改进版的二叉排序树可以使树高为O(logn):
- Size Balanced Tree(SBT)
- AVL树
- 红黑树(红黑树系列文章)
- Treap(Tree+Heap)
这些均可以使查找树的高度为。
后续再更!
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