小波变换教程(八)

小波变换网文精粹：小波变换教程(八)

原文：ROBI POLIKAR. THE ENGINEER'S ULTIMATE GUIDE TO WAVELET ANALYSIS：The Wavelet Tutorial

网址：http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html

译文转自：http://blog.163.com/renfengyuee@126/blog/static/359431362010911809737/

八、小波变换基础：短时傅立叶变换(一)

        那么，我们怎样把这些时间信息加到频率图中去呢？让我们更进一步的看一下这个问题。

        傅立叶变换有什么缺点？它不适用于非平稳信号。让我们想一下这个问题：我们能不能假定部分非平稳信号是稳定的呢？

        答案是肯定的。

        看上面第三幅图，每个的时间段内，信号都是平稳的。

        你可能会问下面这个问题？

        怎样确定我们假定信号为平稳的那段时间足够短呢？

        如果它确实很短，那么它就太短了，我们用它什么也干不了，实际上，这也很正常。我们要用物理定律来玩这个游戏。

        如果我们假定信号为稳定的这个时间段很短，那么我们可以从窄窗中来观察信号，窗口要窄到我们从窗里看到的信号确实是平稳的。

        研究者们最终确定的这个数学逼近，作为傅立叶变换的一个修改版本，叫做短时傅立叶变换。

        短时傅立叶变换和傅立叶变换只有一个微小的不同点。在短时傅立叶变换中，信号被分为足够小的片段，这些片段的信号都可以看成平稳信号。基于这个原因，就需要一个窗函数。窗的宽度必须和信号片段的宽度相等，这样它的平稳性才有效。

        这个窗必须位于信号的最前端，即窗函数必须在时刻存在。让我们假定窗宽度是秒，在时刻，窗函数与第一个秒重叠（我假定所有的单元都以秒为单位）。然后把窗函数和信号想乘，通过这一步，只有前面秒的信号被选出来了，使用合适的窗口权重（如果窗口为矩形窗，幅值为，那么乘积与原始信号相等）。然后这个乘积就可以看成另外一个信号，对它再做傅立叶变换。换句话说，就像对其他任何信号做傅立叶变换一样，对这个乘积也做傅立叶变换。

        变换的结果是前面秒时间内的傅立叶变换。如果这部分的信号是稳定的，那么变换结果就是对前面秒内信号的真实频率响应。

        接下来，把这个窗移到一个新位置（假定信号为秒），与信号相乘，然后做变换。重复这个过程，知道到了信号的时刻。

        接下来这个定义概括了上面讲的所有内容：

                                                                                 图2.6

        请仔细看上面的公式，是信号本身，是窗函数，是向量共轭。如同你在公式中看到的，短时傅立叶变换只不过是对乘了一个窗函数的信号做傅立叶变换。