POJ-1432(n!的位数-数论)
来源:互联网 发布:淘宝店铺怎么改店名 编辑:程序博客网 时间:2024/04/30 19:49
问题描述:输入一个整数n(1,10^7),要你输出该整数的阶乘后的位数是多少?
问题分析:由于n的输入数可能较大,倘若按照常规算法(就是算出n的阶乘)设计的话,一方面会出现TLE,另一方面会出现数据溢出的情况。所以我们不得不充分利用数学知识里面的对数与指数间的亲密关系。
推导以下公式:n!=n*(n-1)*(n-2)*…..*1
n的位数=[lg(n)]+1;
所以:n!的位数=[lg(n*(n-1)*(n-2)*…..*1)]+1=[lgn+lg(n-1)+lg[n-2]+….+lg1]+1
朴素公式为:
log10(n!)=log10(1*2*3…*n)=log10(1)+log10(2)+…+log10(n)
《计算机程序设计艺术》中给出了另一个公式
n! = sqrt(2*π*n) * ((n/e)^n) * (1 + 1/(12*n) + 1/(288*n*n) + O(1/n^3))
两边对10取对数
忽略log10(1 + 1/(12*n) + 1/(288*n*n) + O(1/n^3)) ≈ log10(1) = 0
得到公式
log10(n!) = log10(sqrt(2 * pi * n)) + n * log10(n / e)=ans
(int)ans + 1为答案
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