算法与结果联合分析

 

类别

排序方法

时间复杂度

空间复杂度

稳定性

平均情况

最好情况

最坏情况

辅助存储

插入排序

直接插入

O(n^2)

O(n)

O(n^2)

O(1)

稳定

Shell排序

O(n^1.3)

O(n)

O(n^2)

O(1)

不稳定

选择排序

直接选择

O(n^2)

O(n^2)

O(n^2)

O(1)

不稳定

堆排序

O(nlog₂n)

O(nlog₂n)

O(nlog₂n)

O(1)

不稳定

交换排序

冒泡排序

O(n^2)

O(n)

O(n^2)

O(1)

稳定

快速排序

O(nlog₂n)

O(nlog₂n)

O(n^2)

O(nlog₂n)

不稳定

归并排序

二路归并

O(nlog₂n)

O(nlog₂n)

O(nlog₂n)

O(n)

稳定

基数（桶）排序

基数排序

O(d(r+n))

O(d(rd+n))

O(d(r+n))

O(rd+n))

稳定

冒泡排序：在最优情况下只需要经过n-1次比较即可得出结果，（这个最优情况那就是序列己是正序，从100K的正序结果可以看出结果正是如此），但在最坏情况下，即倒序（或一个较小值在最后），下沉算法将需要n(n-1)/2次比较。所以一般情况下，特别是在逆序时，它很不理想。它是对数据有序性非常敏感的排序算法。

冒泡排序２：它是冒泡排序的改良（一次下沉再一次上浮），最优情况和最坏情况与冒泡排序差不多，但是一般情况下它要好过冒泡排序，它一次下沉，再一次上浮，这样避免了因一个数的逆序，而造成巨大的比较。如（2,3,4,…,n-1,n,1），用冒泡排序需要n(n-1)/2次比较，而此排序只要3轮,共比较(n-1)+(n-2)+(n-3)次，第一轮1将上移一位，第二轮1将移到首位，第三轮将发现无数据交换，序列有序而结束。但它同样是一个对数据有序性非常敏感的排序算法，只适合于数据基本有序的排序。

快速排序：它同样是冒泡排序的改进，它通过一次交换能消除多个逆序，这样可以减少逆序时所消耗的扫描和数据交换次数。在最优情况下，它的排序时间复杂度为Ｏ(nlog2n)。即每次划分序列时，能均匀分成两个子串。但最差情况下它的时间复杂度将是Ｏ(n^2)。即每次划分子串时，一串为空，另一串为m-1（程序中的100K正序和逆序就正是这样，如果程序中采用每次取序列中部数据作为划分点，那将在正序和逆时达到最优）。从100K中正序的结果上看“快速排序”会比“冒泡排序”更慢，这主要是“冒泡排序”中采用了提前结束排序的方法。有的书上这解释“快速排序”，在理论上讲，如果每次能均匀划分序列，它将是最快的排序算法，因此称它作快速排序。虽然很难均匀划分序列，但就平均性能而言，它仍是基于关键字比较的内部排序算法中速度最快者。

直接选择排序：简单的选择排序，它的比较次数一定：n(n-1)/2。也因此无论在序列何种情况下，它都不会有优秀的表现（从上100K的正序和反序数据可以发现它耗时相差不多，相差的只是数据移动时间），可见对数据的有序性不敏感。它虽然比较次数多，但它的数据交换量却很少。所以我们将发现它在一般情况下将快于冒泡排序。

堆排序：由于它在直接选择排序的基础上利用了比较结果形成。效率提高很大。它完成排序的总比较次数为Ｏ(nlog2n)。它是对数据的有序性不敏感的一种算法。但堆排序将需要做两个步骤：－是建堆，二是排序（调整堆）。所以一般在小规模的序列中不合适，但对于较大的序列，将表现出优越的性能。

直接插入排序：简单的插入排序，每次比较后最多移掉一个逆序，因此与冒泡排序的效率相同。但它在速度上还是要高点，这是因为在冒泡排序下是进行值交换，而在插入排序下是值移动，所以直接插入排序将要优于冒泡排序。直接插入法也是一种对数据的有序性非常敏感的一种算法。在有序情况下只需要经过n-1次比较，在最坏情况下，将需要n(n-1)/2次比较。

希尔排序：增量的选择将影响希尔排序的效率。但是无论怎样选择增量，最后一定要使增量为１，进行一次直接插入排序。但它相对于直接插入排序，由于在子表中每进行一次比较，就可能移去整个经性表中的多个逆序，从而改善了整个排序性能。希尔排序算是一种基于插入排序的算法，所以对数据有序敏感。

归并排序：归并排序是一种非就地排序，将需要与待排序序列一样多的辅助空间。在使用它对两个己有序的序列归并，将有无比的优势。其时间复杂度无论是在最好情况下还是在最坏情况下均是O(nlog2n)。对数据的有序性不敏感。若数据节点数据量大，那将不适合。但可改造成索引操作，效果将非常出色。

基数排序：在程序中采用的是以数值的十进制位分解，然后对空间采用一次性分配，因此它需要较多的辅助空间(10*n+10), （但我们可以进行其它分解，如以一个字节分解，空间采用链表将只需辅助空间n+256）。基数排序的时间是线性的(即O(n))。由此可见，基数排序非常吸引人，但它也不是就地排序，若节点数据量大时宜改为索引排序。但基数排序有个前提，要关键字能象整型、字符串这样能分解，若是浮点型那就不行了。

按平均时间将排序分为类：
(1) 平方阶(O(n²))排序
　　各类简单排序，例如直接插入、直接选择和冒泡排序；
(2)线性对数阶(O(nlog2n))排序
　　如快速排序、堆排序和归并排序；
(3)O(n^1+§))排序
　　§是介于0和1之间的常数。希尔排序便是一种；
(4) 线性阶(O(n))排序
　　本程序中的基数排序，此外还有桶、箱排序。

排序方法的选择

因为不同的排序方法适应不同的应用环境和要求，所以选择合适的排序方法很重要
(1)若n较小，可采用直接插入或直接选择排序。
当记录规模较小时，直接插入排序较好，它会比选择更少的比较次数；
但当记录规模较大时，因为直接选择移动的记录数少于直接插人，所以宜用选直接选择排序。
这两种都是稳定排序算法。
(2)若文件初始状态基本有序(指正序)，则应选用直接插人、冒泡或随机的快速排序为宜(这里的随机是指基准取值的随机，原因见上的快速排序分析)；这里快速排序算法将不稳定。
(3)若n较大，则应采用时间复杂度为O(nlog2n)的排序方法：快速排序、堆排序或归并排序序。
快速排序是目前基于比较的内部排序中被认为是最好的方法，当待排序的关键字是随机分布时，快速排序的平均时间最短；
堆排序虽不会出现快速排序可能出现的最坏情况。但它需要建堆的过程。这两种排序都是不稳定的。
　 归并排序是稳定的排序算法，但它有一定数量的数据移动，所以我们可能过与插入排序组合，先获得一定长度的序列，然后再合并，在效率上将有所提高。
(4)特殊的箱排序、基数排序
它们都是一种稳定的排序算法，但有一定的局限性：
　　1、关键字可分解。
　　2、记录的关键字位数较少，如果密集更好
　　3、如果是数字时，最好是无符号的，否则将增加相应的映射复杂度，可先将其正负分开排序。

要实现这几种算法的关键是要熟悉算法的思想。简单的说，冒泡排序，就如名字说的，每经过一轮排序，将最大的数沉到最底部。选择排序的思想是将整个数列，分为有序区和无序区。每轮排序，将无序区里的最小数移入到有序区。快速排序的思想是以一个数为中心，通常这个数是该数列第一个数，将整个数列分为两个部分，一个部分是大于这个数的区域，一个部分是小于这个数的区域。然后再对这两个部分的数列分别排序。如果将数列分为两个部分是通过，一方面从后向前的搜索，另一方面从前向后的搜索来实现的。具体的参考后面的来自百度百科的文档。

从这几个简单的排序算法上看，有几个特点：

冒泡排序是最简单的，也是最稳定的算法。

选择排序不太稳定，但是效率上较冒泡还是有较大的提升。其实在分析的过程中就能发现，选择排序和冒泡排序相比，中间少了很多的交换过程，和比较的次数，这个应该是时间较少的原因。选择排序能够满足一般的使用。当比较的数超过以万为单位时，选择排序也还是要一点时间的。

快速排序据说是最快的。这个可以从思想上看的出来。，当记录较多的时候，快速排序的比较循环次数比上面2个都要少。但是在具体的实现过程中，并不见得如此。这是因为递归效率的低下导致的。当然，估计在实际使用过的过程，快速排序估计都会使用非递归操作栈的方式来实现。那样应该会效率高伤不少。估计我会在后期出一个快速排序的非递归实现来真正比较它们3个性能。在下面的程序中，可以通过调高N的数字就能看的出来冒泡排序和选择排序性能的差异。在N较小，大概几百的时候，是看不出来的。N较大的的时候，比如N=1000或者N=10000的时候，快速排序的递归实现就会卡死在那里了，出不了结果。

以下是具体的代码：

/*
** 常见排序算法比较
*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#include <windows.h>
#define N 10
#define Demo 1

void BubbleSort(int arr[],int n);
void SelectSort(int arr[],int n);
void QuickSort(int arr[],int n);
void PrintArray(int arr[],int n);
void GenerateArray(int arr[],int n);

int main(int argc,char *argv[])
{
    int arr[N];
       
    GenerateArray(arr, N);
    #if Demo
    printf("Before the bubble sort------------------------\n");
    PrintArray(arr, N);
    #endif
    printf("Start Bubble sort----------------------\n");
    clock_t start_time1=clock(); //开始计时
    BubbleSort(arr, N);
    clock_t end_time1=clock(); // 结束计时
    printf("Running time is: %lf ms\n", (double)(end_time1-start_time1)/CLOCKS_PER_SEC*1000);//输出运行时间
    #if Demo
    printf("After the bubble sort------------------------\n");
    PrintArray(arr, N);
    #endif
    printf("-----------------------------------------------------------\n");
   
    sleep(1000); // 单位是毫秒即千分之一秒
    GenerateArray(arr, N);
    #if Demo
    printf("Before the selection sort------------------------\n");
    PrintArray(arr, N);
    #endif
    printf("Start selection sort----------------------\n");
    clock_t start_time2=clock(); //开始计时
    SelectSort(arr, N);
    clock_t end_time2=clock(); // 结束计时
    printf("Running time is: %lf ms\n", (double)(end_time2-start_time2)/CLOCKS_PER_SEC*1000);//输出运行时间
    #if Demo
    printf("After the selection sort------------------------\n");
    PrintArray(arr, N);
    #endif
   
    printf("-----------------------------------------------------------\n");
    sleep(1000); // 单位是毫秒即千分之一秒
    GenerateArray(arr, N);
    #if Demo
    printf("Before the quick sort------------------------\n");
    PrintArray(arr, N);
    #endif
    printf("Start quick sort----------------------\n");
    clock_t start_time3=clock(); //开始计时
    QuickSort(arr, N);
    clock_t end_time3=clock(); // 结束计时
    printf("Running time is: %lf ms\n", (double)(end_time3-start_time3)/CLOCKS_PER_SEC*1000);//输出运行时间
    #if Demo
    printf("After the quick sort------------------------\n");
    PrintArray(arr, N);
    #endif
 
  system("PAUSE");
  return 0;
}

// 产生随机列表
void GenerateArray(int arr[],int n)
{
     int i;
     srand((unsigned)time(0));
    
     for(i = 0; i <N; i++)
     {
          arr[i] = rand(); // 生成随机数 范围在0-32767之间
     }
}

// 打印列表
void PrintArray(int arr[],int n)
{
     int i = 0;
     for(i = 0; i < n; i++)
           printf("%6d", arr[i]);
     printf("\n");
}

// 经典冒泡排序
void BubbleSort(int arr[],int n)
{
     int i = 0, j =0;    
     for(i = 0; i < n; i++)
       for(j = 0; j < n - 1 - i; j++)
       {
             if(arr[j] > arr[j + 1])
             {
                       arr[j] = arr[j] ^ arr[j+1];
                       arr[j+1] = arr[j] ^ arr[j+1];
                       arr[j] = arr[j] ^ arr[j+1];
             }            
       }    
}

// 快速排序的递归实现
void QuickSort(int arr[],int n)
{
     if(n <= 1)
     return;
    
     int i =0 , j = n - 1;
     int key = arr[0];
     int index = 0;
    
     while(i < j)
     {
             // 从后向前搜索
             while(j > i && arr[j] > key)
             j--;
             if(j == i)
             break;
             else
             {
                 //交换 a[j] a[i]
                 arr[j] = arr[j] ^arr[i];
                 arr[i] = arr[j] ^arr[i];
                 arr[j] = arr[j] ^arr[i];
                 index = j;
             }
            
             // 从前向后搜索
             while(i < j && arr[i] <key)
             i++;
             if(i == j)
             break;
             else
             {
                 // 交换 a[i] a[j]
                 arr[j] = arr[j] ^arr[i];
                 arr[i] = arr[j] ^arr[i];
                 arr[j] = arr[j] ^arr[i];
                 index = i;
             }            
     }    
     QuickSort(arr, index);
     QuickSort(arr + index + 1, n - 1 - index);
}

// 选择排序
void SelectSort(int arr[],int n)
{
     int i, j;
     int min;
    
     for(i = 0; i < n - 1; i++)
     {
           int index = 0;
           min = arr[i];
           for(j = i + 1; j < n; j++) //找出 i+1 - n 无序区的最小者与arr[i]交换
           {
                 if(arr[j] < min)
                 {
                    min = arr[j];
                    index = j;     
                 }  
           }
           if(index != 0) //表明无序区有比arr[i]小的元素
           {
               arr[i] = arr[i]^arr[index];
               arr[index] = arr[i]^arr[index];
               arr[i] = arr[i]^arr[index];
           }
     }
}

 

程序里有几点注意的地方：

一，在程序里，交换2个数，我使用了异或来处理。这个可以根据个人喜好。为了避免产生临时变量，可以使用如下几种方式来交换2个数：

  a=a^b; 
  b=a^b; 
  a=a^b; 

 

或者
  a=a+b; 
  b=a-b; 
  a=a-b; 

使用第二种也挺好的。第一种异或的方式，只适用于，2个数都为int型的，a,b可以正可以负，这个没有关系，但是必须是int类型。

二， sleep()函数是包含在windows.h里面的，要加入 #include <window.h>

三， 关于随机数生成的2个函数 srand()种子发生器函数，还有rand()随机数生成器函数，自己可以参考相关文档。

四， Demo宏来控制是演示还是比较性能用的。当把N调整的很小，比如10的时候，可以设置Demo为1，那样就能打印数组了，可以看到比较前后的情况。当把N调整到很大比如10000的时候，就把Demo设置为0，那样就不打印数组，直接比较性能。

 

具体的算法文档参考下面的：

冒泡排序

基本概念

冒泡排序（BubbleSort）的基本概念是：依次比较相邻的两个数，将小数放在前面，大数放在后面。即在第一趟：首先比较第1个和第2个数，将小数放前，大数放后。然后比较第2个数和第3个数，将小数放前，大数放后，如此继续，直至比较最后两个数，将小数放前，大数放后。至此第一趟结束，将最大的数放到了最后。在第二趟：仍从第一对数开始比较（因为可能由于第2个数和第3个数的交换，使得第1个数不再小于第2个数），将小数放前，大数放后，一直比较到倒数第二个数（倒数第一的位置上已经是最大的），第二趟结束，在倒数第二的位置上得到一个新的最大数（其实在整个数列中是第二大的数）。如此下去，重复以上过程，直至最终完成排序。

　　由于在排序过程中总是小数往前放，大数往后放，相当于气泡往上升，所以称作冒泡排序。

　　用二重循环实现，外循环变量设为i，内循环变量设为j。外循环重复9次，内循环依次重复9，8，...，1次。每次进行比较的两个元素都是与内循环j有关的，它们可以分别用a[j]和a[j+1]标识，i的值依次为1,2,...,9，对于每一个i, j的值依次为1,2,...10-i。

产生

　　在许多程序设计中，我们需要将一个数列进行排序，以方便统计，而冒泡排序一直由于其简洁的思想方法而倍受青睐。

排序过程

　　设想被排序的数组R［1..N］垂直竖立，将每个数据元素看作有重量的气泡，根据轻气泡不能在重气泡之下的原则，从下往上扫描数组R，凡扫描到违反本原则的轻气泡，就使其向上"漂浮"，如此反复进行，直至最后任何两个气泡都是轻者在上，重者在下为止。

算法示例

A[0] 、 A[1]、 A[2]、 A[3]、 A[4]、 A[5]、 A[6]：

49 38 65 97 76 13 27

第一趟冒泡排序过程

38 49 65 97 76 13 27

38 49 65 97 76 13 27

38 49 65 97 76 13 27

38 49 65 76 97 13 27

38 49 65 76 13 97 27

38 49 65 76 13 27 97 – 这是第一趟冒泡排序完的结果

第二趟也是重复上面的过程，只不过不需要比较最后那个数97，因为它已经是最大的

38 49 65 13 27 76 97 – 这是结果

第三趟继续重复，但是不需要比较倒数2个数了

38 49 13 27 65 76 97

….

选择排序

基本思想

n个记录的文件的直接选择排序可经过n-1趟直接选择排序得到有序结果：

①初始状态：无序区为R[1..n]，有序区为空。

②第1趟排序

　　在无序区R[1..n]中选出关键字最小的记录R[k]，将它与无序区的第1个记录R[1]交换，使R[1..1]和R[2..n]分别变为记录个数增加1个的新有序区和记录个数减少1个的新无序区。

……

③第i趟排序

　　第i趟排序开始时，当前有序区和无序区分别为R[1..i-1]和R(1≤i≤n-1)。该趟排序从当前无序区中选出关键字最小的记录 R[k]，将它与无序区的第1个记录R交换，使R[1..i]和R分别变为记录个数增加1个的新有序区和记录个数减少1个的新无序区。

　　这样，n个记录的文件的直接选择排序可经过n-1趟直接选择排序得到有序结果。

　　常见的选择排序细分为简单选择排序、树形选择排序（锦标赛排序）、堆排序。上述算法仅是简单选择排序的步骤。

排序过程

A[0] 、 A[1]、 A[2]、 A[3]、 A[4]、 A[5]、 A[6]：

49 38 65 97 76 13 27

　　第一趟排序后 13 ［38 65 97 76 49 27]

　　第二趟排序后 13 27 ［65 97 76 49 38]

　　第三趟排序后 13 27 38 [97 76 49 65]

　　第四趟排序后 13 27 38 49 [76 97 65]

　　第五趟排序后 13 27 38 49 65 [97 76]

　　第六趟排序后 13 27 38 49 65 76 [97]

最后排序结果 13 27 38 49 49 65 76 97

快速排序算法

算法过程

　　设要排序的数组是A[0]……A[N-1]，首先任意选取一个数据（通常选用第一个数据）作为关键数据，然后将所有比它小的数都放到它前面，所有比它大的数都放到它后面，这个过程称为一趟快速排序。一趟快速排序的算法是：

1）设置两个变量I、J，排序开始的时候：I=0，J=N-1；

2）以第一个数组元素作为关键数据，赋值给key，即 key=A[0]；

3）从J开始向前搜索，即由后开始向前搜索（J=J-1），找到第一个小于key的值A[J]，并与A[I]交换；

4）从I开始向后搜索，即由前开始向后搜索（I=I+1），找到第一个大于key的A[I]，与A[J]交换；

5）重复第3、4、5步，直到 I=J； (3,4步是在程序中没找到时候j=j-1，i=i+1，直至找到为止。找到并交换的时候i， j指针位置不变。另外当i=j这过程一定正好是i+或j+完成的最后另循环结束)

　　例如：待排序的数组A的值分别是：（初始关键数据：X=49） 注意关键X永远不变，永远是和X进行比较，无论在什么位子，最后的目的就是把X放在中间，小的放前面大的放后面。

A[0] 、 A[1]、 A[2]、 A[3]、 A[4]、 A[5]、 A[6]：

49 38 65 97 76 13 27

　　进行第一次交换后： 27 38 65 97 76 13 49

( 按照算法的第三步从后面开始找)

　　进行第二次交换后： 27 38 49 97 76 13 65

( 按照算法的第四步从前面开始找>X的值，65>49,两者交换，此时：I=3 )

　　进行第三次交换后： 27 38 13 97 76 49 65

( 按照算法的第五步将又一次执行算法的第三步从后开始找

　　进行第四次交换后： 27 38 13 49 76 97 65

( 按照算法的第四步从前面开始找大于X的值，97>49,两者交换，此时：I=4,J=6 )

　　此时再执行第三步的时候就发现I=J，从而结束一趟快速排序，那么经过一趟快速排序之后的结果是：27 38 13 49 76 97 65，即所以大于49的数全部在49的后面，所以小于49的数全部在49的前面。

　　快速排序就是递归调用此过程——在以49为中点分割这个数据序列，分别对前面一部分和后面一部分进行类似的快速排序，从而完成全部数据序列的快速排序，最后把此数据序列变成一个有序的序列，根据这种思想对于上述数组A的快速排序的全过程如图6所示：

　　初始状态 {49 38 65 97 76 13 27}

　　进行一次快速排序之后划分为 {27 38 13} 49 {76 97 65}

　　分别对前后两部分进行快速排序 {27 38 13} 经第三步和第四步交换后变成 {13 27 38} 完成排序。

{76 97 65} 经第三步和第四步交换后变成 {65 76 97} 完成排序。