整数因子分解：计算一个整数所有的分解式（递归实现）

原始问题描述：

对于给定的正整数n，计算n有多少种不同的分解式。

例如，当n=12时，有8种不同的分解式：

12=12, 

12=6×2, 

12=4×3, 

12=3×4, 

12=3×2×2,

 12=2×6, 

12=2×3×2 ,

 12=2×2×3

对n的每个因子递归搜索，代码如下：

void solve (int n)   {         if (n==1)     total++;     else         for (int i=2; i<=n; i++)            if (n%i==0)                  solve (n/i);}

扩展问题一：能否输出各种具体的分解表达式？    

思路：可以设置一个栈，如果是因子，则将这个因子压入栈中，递归到因子为1时分解完毕，将整个栈中元素输出。一次递归结束后将栈顶的元素弹出(本例中用的vector容器模拟栈)。代码如下：

void solve(int n){if (n == 1){total++;print_vector(ivec);//输出栈中的元素}elsefor (int i = 2; i <= n; i++)if (n % i == 0){//如果i是n的因子，则将i压入栈ivec.push_back(i);solve(n / i);ivec.pop_back();//出栈}}

扩展问题二：能否输出不重复的分解表达式？

第一种思路：经过多次试验发现，如果递归结束时，模拟栈中的元素是无序的，则本次分解一定重复。以12为例，有3种情况为：2×2×3、2×3×2、3×2×2，后两种之所以重复，是因为它们都是无序的，因此，在上问题一的基础上，只须在输出之前判断一下模拟栈中的元素是否有序便可，若序时，才进行输出。代码如下：

void solve(int n){if (n == 1){total++;if (isOrderVector(ivec))//只有有序时，才输出print_vector(ivec);//输出栈中的元素}elsefor (int i = 2; i <= n; i++)if (n % i == 0){//如果i是n的因子，则将i压入栈ivec.push_back(i);solve(n / i);ivec.pop_back();//出栈}}

其中判断模拟栈是否为有序的代码如下：

bool isOrderVector(vector<int> & ivec){assert(ivec.size() > 0);for (vector<int>::iterator i = ivec.begin() + 1; i != ivec.end(); i++)if (*i < *(i-1))return false;return true;}

问题二的进一步优化：其实slove()函数内层循环中i没有必要循环到n，只须要循环到sqrt(n)便可，当然，需要再补上缺失的一种情况：当i为n时，代码如下：

void solve(int n){……else{for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++){if (n % i == 0){//如果i是n的因子，则将i压入栈ivec.push_back(i);solve(n / i);ivec.pop_back();//出栈}}{                   ivec.push_back(n); slove(1); ivec.pop_back();        }                       }}

第二种思路[章磊同学提供]：既然为了保持模拟栈中元素的顺序，那每次i入栈之前先同栈顶元素进行比较，如果i大于栈顶元素，则不入栈，这种方法更简洁，代码如下：

void solve(int n){if (n == 1){total++;print_vector(ivec);//输出栈中的元素}elsefor (int i = 2; i <= n; i++)if (n % i == 0){//若栈不为空，且i比栈顶元素小，说明//再压栈己没有意义，直接结束本次循环。if ((ivec.size() > 0) && i < ivec[ivec.size()-1])continue;//如果i是n的因子，则将i压入栈ivec.push_back(i);solve(n / i);ivec.pop_back();//出栈}}

参考资料：北京科技大学 罗熊 算法设计与分析 第三章课件