背包问题扩展

http://acmpj.zstu.edu.cn/JudgeOnline/showproblem?problem_id=2574   砝码称重

Description
设有1g 2g 3g 5g 10g 20g的砝码各若干枚（其总重<=1000），输出用这些砝码能称出的不同重量的个数，但不包括一个砝码也不用的情况。
Input
有多个测试数据
每个测试数据一行，由6个整数组成，分别是1g 2g 3g 5g 10g 20g砝码的数量
最后一行是0 0 0 0 0 0，不需要处理
Output
每组测试数据输出一行，输出总共可以称出的重量的数目。
Sample Input
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0
Sample Output
41
Source
NOIP T96-4

问题分析：
把问题稍做一个改动，已知a1+a2+a3+a4+a5+a6个砝码的重量w[i]，w[i]∈{1,2,3,5,10,20} 其中砝码重量可以相等，求用这些砝码可称出的不同重量的个数。
 这样一改就是经典的0/1背包问题的简化版了，求解方法完全和上面说的一样，这里就不多说了，只是要注意这个题目不是求最大载重量，是统计所有的可称出的重量的个数。
参考代码：

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;#include<memory.h>#define MAXN 1010int w[6]={1,2,3,5,10,20},a[6];int dp[MAXN];int main(void){int i,j,k,sum,ans;while(1){sum=0;for(i=0;i<6;i++){scanf("%d",&a[i]);sum+=w[i]*a[i];}if(!sum)break;//背包问题的核心代码memset(dp,0,sizeof(dp));dp[0]=1;for(i=0;i<6;i++){for(k=a[i];k>0;k--){for(j=sum;j>=w[i];j--){if(dp[j-w[i]])dp[j]=1;}}}ans=0;for(i=1;i<=sum;i++){if(dp[i])ans++;}printf("%d\n",ans);}return 0;}

方法二：

f[i][j] 表示用1~i种砝码能否表示j这种面值，能为1，不能为0。

if(f[i-1][j]==1) f[i][j]=1;

for(k=1;k<=na[i];k++)

      if(j-k*ma[i]==0||j-k*ma[i]>0 && f[i-1][j-k*ma[i]]==1)

         {    f[i][j]=1;

              break;

        }

以上这是状态转移方程的代码。

然后，for(j=1;j<=max;j++)

               if(f[6][j]==1)

                   sum++;

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;#include<memory.h>#define MAXN 1010int w[7]={0,1,2,3,5,10,20},a[6];int dp[7][MAXN];int main(void){int i,j,k,sum,ans;while(1){sum=0;for(i=1;i<=6;i++){scanf("%d",&a[i]);sum+=w[i]*a[i];}if(!sum)break;//背包问题的核心代码memset(dp,0,sizeof(dp));for(i=1;i<=6;i++){for(j=1;j<=sum;j++){if(dp[i-1][j] == 1)dp[i][j] = 1;else{for(k=1;k<=a[i];k++){if(j-k*w[i] == 0 || (j-k*w[i] > 0 && dp[i-1][j-k*w[i]] == 1) ){dp[i][j]=1;break;}}}}}ans=0;for(i=1;i<=sum;i++){if(dp[6][i])ans++;}printf("%d\n",ans);}return 0;}

另外一种写法：

#include<iostream>#include<cstdio>using namespace std;#include<memory.h>#define MAXN 1010int w[7]={0,1,2,3,5,10,20},a[6];int dp[7][MAXN];int main(void){int i,j,k,sum,ans;while(1){sum=0;for(i=1;i<=6;i++){scanf("%d",&a[i]);sum+=w[i]*a[i];}if(!sum)break;//背包问题的核心代码memset(dp,0,sizeof(dp));for(j=1;j<=a[1];j++)   //DP问题的初始化dp[1][j*w[1]]=1;for(i=2;i<=6;i++){for(j=1;j<=sum;j++){for(k=0;k<=a[i];k++)   //多重背包比0-1背包多的循环：对砝码个数的控制 {if(j-k*w[i] > 0 ){if(dp[i-1][j-k*w[i]] == 1)dp[i][j]=1;}else if(j-k*w[i] == 0)dp[i][j]=1;}}}ans=0;for(i=1;i<=sum;i++){if(dp[6][i])ans++;}printf("%d\n",ans);}return 0;}

状态转移方程 ：if(f[i-1][j-i1*b[i]])  f[i][j]=1;   (0<=i1<=a[i],j-i1*b[i]>0)
                            if(j-i1*b[i]]==0)              f[i][j]=1;   
 该题用动态规划解决的是统计问题。f[i][j]的值有两种，1和0，1代表用前i个砝码可以表示j这个重量，
 状态转移思想：看前i-1个砝码是否可以 表示j这个重量，或者是否可以表示j-i1*b[i]这个重量 。i1代表砝码i的个数，b[i]代表i的重量。如果j-i1*b[i]==0，说明只用i砝码就可以称出j的重量，也将f[i][j]变为1。

二、某种顺序下的01背包扩展题

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3466   Proud Merchants

因为剩余金额会对状态产生影响，所以应该先处理q-p较小的。这是一道01背包的变形题，题目增加了一个限制条件，即当你所拥有的钱数大于某个限定值时才可以购买该物品。
按照q - p以由小到大的顺序排序，然后进行01背包的DP即可。

#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int MAX = 5001;int f[MAX];int V;    //背包的体积struct Node{int p,q,v;}node[501];void ZeroOnePack (int cost, int q,int weight){    int v;    for (v = V; v >= q; v--)        f[v] = f[v] > (f[v - cost] + weight) ? f[v] : (f[v - cost] + weight);}bool cmp(const Node &a,const Node &b){return (a.q-a.p) < (b.q-b.p);}inline bool scan_d(int &num)  //  这个就是 加速的 关键了 {char in;bool IsN=false;in=getchar();if(in==EOF)return false;while(in!='-'&&(in<'0'||in>'9')) in=getchar();if(in=='-')   { IsN=true;num=0;}else num=in-'0';while(in=getchar(),in>='0'&&in<='9'){num*=10,num+=in-'0';}if(IsN)num=-num;return true;}int main(void){int i,n,m;while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF){V = m;for(i = 0 ; i <= V ; ++i)      //没有要求把背包装满{f[i]=0;}for(i = 1 ; i <= n ; ++i){scan_d(node[i].p);scan_d(node[i].q);scan_d(node[i].v);}sort(node+1,node+n+1,cmp);for(i = 1 ; i <= n ; ++i)ZeroOnePack(node[i].p, node[i].q , node[i].v);for(i = V ; i >= 0 ; --i){if( f[i] ){printf("%d\n",f[i]);break;}}}return 0;}