【网络流】【对偶图】海拔

海拔(noi 2010)

　　YT市是一个规划良好的城市，城市被东西向和南北向的主干道划分为n×n个区域。简单起见，可以将YT市看作一个正方形，每一个区域也可看作一个正方形。从而，YT城市中包括(n+1)×(n+1)个交叉路口和2n×(n+1)条双向道路（简称道路），每条双向道路连接主干道上两个相邻的交叉路口。下图为一张YT市的地图(n = 2)，城市被划分为2×2个区域，包括3×3个交叉路口和12条双向道路。

　　小Z作为该市的市长，他根据统计信息得到了每天上班高峰期间YT市每条道路两个方向的人流量，即在高峰期间沿着该方向通过这条道路的人数。每一个交叉路口都有不同的海拔高度值，YT市市民认为爬坡是一件非常累的事情，每向上爬h的高度，就需要消耗h的体力。如果是下坡的话，则不需要耗费体力。因此如果一段道路的终点海拔减去起点海拔的值为h(注意h可能是负数)，那么一个人经过这段路所消耗的体力是max{0, h}（这里max{a, b}表示取a, b两个值中的较大值）。
　　 小Z还测量得到这个城市西北角的交叉路口海拔为0，东南角的交叉路口海拔为1(如上图所示)，但其它交叉路口的海拔高度都无法得知。小Z想知道在最理想的情况下（即你可以任意假设其他路口的海拔高度），每天上班高峰期间所有人爬坡所消耗的总体力和的最小值。

 

【样例】
样例数据见下图。

最理想情况下所有点的海拔如上图所示。
ans = 3.

【数据规模】
对于20%的数据：n ≤ 3；
对于50%的数据：n ≤ 15；
对于80%的数据：n ≤ 40；
对于100%的数据：1 ≤ n ≤ 500，0 ≤ 流量 ≤ 1,000,000且所有流量均为整数。
【提示】
海拔高度不一定是整数。

上面那句话是一个极没有JJ的人说的，害人。先假设只有0、1两种情况，等一下再来证明。

如果只有0、1，那么要给代价的边必定是01点之间的边，于是就想到了割切，然后要使代价最小，即最小割。

根据定理，我们就来求最大流。左上点和右下点分别在0集和1集中，因此从左上到右下求最大流。

然后来证明只有0、1两种情况。

假设中间点的海拔在0和1之间，则对于左图，把海拔移为1，左边的点的代价会增加，右边的点的代价会减少，总的减少。

对于右图，同理，海拔移为0，总代价也会减少。因此只会有0或1两种情况。

这个方法会超时。。用一种叫对偶图的方法，可以解决。实现方法是将边旋转90°，再加超级源和超级汇。

以下引用Wjj的博文，讲得不错：

朴素算法是从左上角到右下角求一次最大流，求得的这个最大流即为最小割。但这样最多只能得80分（我的程序比较弱，只能过70分）。

于是可以用对偶图优化。
首先可以断定，海拔必为0或1中的一种（不然可以转化为只有0和1的情况），那么可以找到一条0和1的分界线。

我们将平面图上所有的边全都沿中点逆时针旋转90°，将原来每个单位网格的中心点变为对偶图的点，（自然有些边就指向边界外面或是从边界外指向某个点了。）再把对偶图的整个左下区域增加一个超级源，整个右上区域增加一个超级汇，从超级源到超级汇求一次最短路即可。

图上很容易看出来，原来的割切必定在现在建的边上，只是意会了，但是不会严格证明。现在从源点到汇点求一次最短路即为原问题的最小割。

现在的代码逐渐整洁起来了，要保持，加油

手大堆。。第一次测看只有两个点超时，其他对了，我还以为手打堆一次性就过了。。。结果错了三个地方：又把SIZE打成n了，忘了判断是否有右儿子，从堆顶取出之后没有标志访问过。改了就过了。

#include <iostream>#include <queue>#include <cstdio>const long maxsum = 251011;const long maxn = 510;long n;long sum;using std::priority_queue;typedef long long ll;const ll inf = 0x7f7f7f7f7f7f7f7fll;struct node{long ind;node *next;node *back;ll val;};node* head[maxsum];long _flow1[maxsum];long _flow2[maxsum];long _flow3[maxsum];long _flow4[maxsum];ll dist[maxsum];bool vis[maxsum];struct hnode{long ind;ll val;bool operator<(const hnode& hn2)const{return val<hn2.val;}hnode(long v,long i):ind(i),val(v){}hnode(){}};hnode que[maxsum];long SIZE = 0;inline void adjust_up(long l){while (l>1){if (que[l]<que[l>>1]) std::swap(que[l],que[l>>1]);else break;l >>= 1;}}inline void push(hnode l){que[++SIZE] = l;adjust_up(SIZE);}inline void adjust_down(long l){while ((l<<=1)<SIZE+1){if (l<SIZE&&que[l+1]<que[l]) l++;if (que[l]<que[l>>1]) std::swap(que[l],que[l>>1]);else break;}}inline void pop(){que[1] = que[SIZE--];adjust_down(1);}inline void insert(long a,long b,ll c,ll d){node* n1 = new node;n1 -> ind = b;n1 -> val = c;n1 -> next = head[a];head[a] = n1;node* n2 = new node;n2 -> ind = a;n2 -> val = d;n2 -> next = head[b];head[b] = n2;n1 -> back = n2;n2 -> back = n1;}inline void insert(long a,long b,ll c){node* n1 = new node;n1 -> ind = b;n1 -> val = c;n1 -> next = head[a];n1 -> back = 0;head[a] = n1;}void dijkstra(){for (long i=0;i<sum+2;i++){dist[i] = inf;vis[i] = false;}dist[sum] = 0;push(hnode(0,sum));while (SIZE>0){hnode uu = que[1];pop();long u = uu.ind;if (vis[u]) continue;vis[u] = true;for (node* vv=head[u];vv;vv=vv->next){long v = vv->ind;if (!vis[v] && dist[v]>dist[u]+vv->val){dist[v]=dist[u]+vv->val;push(hnode(dist[v],v));}}}}inline int getint(){    int res = 0; char tmp;    while (!isdigit(tmp = getchar()));    do res = (res << 3) + (res << 1) + tmp - '0';    while (isdigit(tmp = getchar()));    return res;}int main(){freopen("altitude.in","r",stdin);freopen("altitude.out","w",stdout);n = getint();sum = n*n;for (long i=0;i<n*(n+1);i++){_flow1[i] = getint();}for (long i=0;i<n*(n+1);i++){_flow2[i] = getint();}for (long i=0;i<n*(n+1);i++){_flow3[i] = getint();}for (long i=0;i<n*(n+1);i++){_flow4[i] = getint();}for (long i=0;i<n;i++){long f = i;long t = sum+1;insert(f,t,_flow1[i]);}for (long i=n*n;i<n*(n+1);i++){long f = sum;long t = i-n;insert(f,t,_flow1[i]);}for (long i=n;i<n*n;i++){long f = i;long t = i-n;insert(f,t,_flow1[i],_flow3[i]);}for (long i=0;i<n*(n+1);i++){long x = i/(n+1);long y = i%(n+1);long f;long t;if (y == 0){f = sum;t = x*n;insert(f,t,_flow2[i]);}else if (y == n){f = (x+1)*n-1;t = sum+1;insert(f,t,_flow2[i]);}else{f = x*n+y-1;t = x*n+y;insert(f,t,_flow2[i],_flow4[i]);}}dijkstra();std::cout << dist[sum+1];return 0;}

朴素，无对偶图：

#include <cstdio>#include <iostream>typedef long long ll;using std::cout;const long maxsum = 251011;const long maxn = 510;long n = 0;long sum = 0;struct node{    long ind;    node *next;    node *back;    ll val;    };node* head[maxsum];long D[maxsum];long DN[maxsum];#define MIN(a,b) (a<b?a:b)void insert(long a,long b,ll c,ll d){    node* n1 = new node;    n1 -> ind = b;    n1 -> val = c;    n1 -> next = head[a];    head[a] = n1;    node* n2 = new node;    n2 -> ind = a;    n2 -> val = d;    n2 -> next = head[b];    head[b] = n2;        n1 -> back = n2;    n2 -> back = n1;}long _flow1[maxn*(maxn+1)];long _flow2[maxn*(maxn+1)];long _flow3[maxn*(maxn+1)];long _flow4[maxn*(maxn+1)];const ll inf = 0x7f7f7f7f7f7f7f7fll;ll Sap(long u,ll maxflow){    if (u == sum-1)    {        return maxflow;    }    ll use = 0;    for (node* vv=head[u];vv;vv=vv->next)    {        long v = vv->ind;        ll tmp ;        if (vv->val>0 && D[u]==D[v]+1)        {            tmp = Sap(v,MIN(maxflow-use,vv->val));            use += tmp;            vv->val -= tmp;            vv->back->val += tmp;            if (use == maxflow)                return use;        }    }    if (D[0] >= sum)        return use;    if (!(--DN[D[u]]))        D[0] = sum;    DN[++D[u]]++;    return use;    }int main(){    freopen("altitude.in","r",stdin);    freopen("altitude.out","w",stdout);        scanf("%ld",&n);    sum = (n+1)*(n+1);    for (long i=0;i<n*(n+1);i++)    {        scanf("%ld",_flow1+i);    }    for (long i=0;i<n*(n+1);i++)    {        scanf("%ld",_flow2+i);        }    for (long i=0;i<n*(n+1);i++)    {        scanf("%ld",_flow3+i);    }    for (long i=0;i<n*(n+1);i++)    {        scanf("%ld",_flow4+i);        }    for (long i=0;i<n*(n+1);i++)    {        long x = i/n;        long y = i%n;        long f = (x*(n+1))+y;        long t = (x*(n+1))+y+1;        insert(f,t,_flow1[i],_flow3[i]);                x = i/(n+1);        y = i%(n+1);        f = (x*(n+1))+y;        t = (x*(n+1)+(n+1))+y;        insert(f,t,_flow2[i],_flow4[i]);    }    DN[0] = sum;    long ans = 0;    while (D[0] < sum)    {        ans += Sap(0,inf);    }    cout << ans;    return 0;}