对偶图及其应用

来源：互联网发布：ubuntu kylin 安装jdk 编辑：程序博客网时间：2024/06/05 22:48

对偶图及其应用

模型

每个平面图 G 都有一个与之对偶的平面图 G∗
G∗ 有如下性质：

G∗ 中的每个点对应 G 中的一个面
对于 G 中的，每条边 e
- e 属于两个面 f1,f2 ，加入边 (f∗1,f∗2)
- e 只属于一个面 f ，加入回边 (f∗,f∗)

对偶图

（图中加入了个绿色边围成的面，需要删除 s∗ 与 t∗ 之间的边）

这样我们通过求 s∗ 到 t∗ 的最短路，就可以求出原图中的最大流（最小割）

分析一下时间复杂度：

直接用 Dinic 求最大流： O(EV2)
最大流转化最短路，用堆优化 Dijkstra ： O(Vlog2V)

明显快了很多，然而实际跑起来差别并不大：测评结果

主要原因是 Dinic 加了优化之后时间复杂度很玄学……

题目

[bzoj1001]狼抓兔子[BeiJing2006]

Time Limit: 15 Sec Memory Limit: 162 MB

题目描述

现在小朋友们最喜欢的”喜羊羊与灰太狼”,话说灰太狼抓羊不到，但抓兔子还是比较在行的，
而且现在的兔子还比较笨，它们只有两个窝，现在你做为狼王，面对下面这样一个网格的地形：

左上角点为(1,1),右下角点为(N,M)(上图中N=4,M=5).有以下三种类型的道路
1:(x,y)<==>(x+1,y)
2:(x,y)<==>(x,y+1)
3:(x,y)<==>(x+1,y+1)
道路上的权值表示这条路上最多能够通过的兔子数，道路是无向的. 左上角和右下角为兔子的两个窝，
开始时所有的兔子都聚集在左上角(1,1)的窝里，现在它们要跑到右下解(N,M)的窝中去，狼王开始伏击
这些兔子.当然为了保险起见，如果一条道路上最多通过的兔子数为K，狼王需要安排同样数量的K只狼，
才能完全封锁这条道路，你需要帮助狼王安排一个伏击方案，使得在将兔子一网打尽的前提下，参与的
狼的数量要最小。因为狼还要去找喜羊羊麻烦.

输入格式

第一行为N,M.表示网格的大小，N,M均小于等于1000.
接下来分三部分
第一部分共N行，每行M-1个数，表示横向道路的权值.
第二部分共N-1行，每行M个数，表示纵向道路的权值.
第三部分共N-1行，每行M-1个数，表示斜向道路的权值.
输入文件保证不超过10M

输出格式

输出一个整数，表示参与伏击的狼的最小数量.

样例输入

3 4
5 6 4
4 3 1
7 5 3
5 6 7 8
8 7 6 5
5 5 5
6 6 6

样例输出

14

本题就是一到十分经典的用对偶图将最大流转化为最短路的题。

解题思路与之前讲的十分相似，只是建图比较麻烦，需要注意；还有一点就是当 N=1 或 M=1 时需要特判。

最大流

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<queue>using namespace std;const int MAXV=1e6+5,MAXE=3e6+5,INF=~0U>>1;//6int N,M,S,T;struct E{int next,to,cap;} e[MAXE<<2];int ecnt=1,G[MAXV];void addEdge(int u,int v,int c){    e[++ecnt]=(E){G[u],v,c};G[u]=ecnt;    e[++ecnt]=(E){G[v],u,0};G[v]=ecnt;}int dfn[MAXV];queue<int> que;bool calDfn(){    int i;    memset(dfn,-1,sizeof(dfn));    dfn[S]=0;que.push(S);    while(!que.empty())    {        int u=que.front();que.pop();        for(i=G[u];i;i=e[i].next)        {            int v=e[i].to;            if(e[i].cap>0&&dfn[v]==-1)                dfn[v]=dfn[u]+1,que.push(v);        }    }    return dfn[T]!=-1;}int iter[MAXV];int calF(int u,int f){    if(u==T) return f;    for(int & i=iter[u];i;i=e[i].next)    {        int v=e[i].to;        if(e[i].cap>0&&dfn[v]==dfn[u]+1)        {            int res=calF(v,min(f,e[i].cap));            if(res>0)            {                e[i].cap-=res,e[i^1].cap+=res;                return res;            }        }    }    return 0;}int dinic(){    int i,f,res=0;    while(calDfn())    {        for(i=1;i<=N*M;i++) iter[i]=G[i];        while((f=calF(S,INF))>0) res+=f;    }    return res;}int main(){    int i,j,u,v,c;    scanf("%d%d",&N,&M);    S=1,T=N*M;    for(i=1;i<=N;i++)        for(j=1;j<M;j++)        {            u=j+(i-1)*M,v=u+1;scanf("%d",&c);            addEdge(u,v,c);addEdge(v,u,c);        }    for(i=1;i<N;i++)        for(j=1;j<=M;j++)        {            u=j+(i-1)*M,v=u+M;scanf("%d",&c);            addEdge(u,v,c);addEdge(v,u,c);        }    for(i=1;i<N;i++)        for(j=1;j<M;j++)        {            u=j+(i-1)*M,v=u+M+1;scanf("%d",&c);            addEdge(u,v,c);addEdge(v,u,c);        }    printf("%d\n",dinic());    return 0;}

最短路

#include<iostream>#include<cstdio>#include<queue>using namespace std;const int MAXV=2e6+105,MAXE=3e6+5,INF=~0U>>1;int N,M,S,T;struct E{int next,to,val;} e[MAXE<<1];int ecnt,G[MAXV];void addEdge(int u,int v,int w)//双向边{    e[++ecnt]=(E){G[u],v,w};G[u]=ecnt;    e[++ecnt]=(E){G[v],u,w};G[v]=ecnt;}struct HN{    int id,v;    bool operator<(const HN & ot)const    {return v>ot.v;}};priority_queue<HN> heap;bool inS[MAXV];int dis[MAXV];int dijkstra(){    int i;    for(i=1;i<=T;i++) dis[i]=INF;    dis[S]=0;heap.push((HN){S,0});    while(!heap.empty())    {        int u=heap.top().id;heap.pop();        if(inS[u]) continue;        inS[u]=true;        for(i=G[u];i;i=e[i].next)        {            int v=e[i].to;            if(inS[v]) continue;            if(dis[v]>dis[u]+e[i].val)            {                dis[v]=dis[u]+e[i].val;                heap.push((HN){v,dis[v]});            }        }    }    return dis[T];}int main(){    int i,j,w;    scanf("%d%d",&N,&M);    if(N==1||M==1)    {        if(N>M) swap(N,M);        int ans=INF;        for(i=1;i<=M;i++)            scanf("%d",&w),ans=min(ans,w);        printf("%d\n",ans);    }else    {        S=2*(N-1)*(M-1)+1,T=S+1;        //读取横向        for(i=1;i<M;i++)        {int v=i*2;scanf("%d",&w);addEdge(S,v,w);}        for(i=2;i<N;i++)            for(j=1;j<M;j++)            {int u=2*((i-2)*(M-1)+j)-1,v=2*((i-1)*(M-1)+j);scanf("%d",&w);addEdge(u,v,w);}        for(i=1;i<M;i++)        {int u=2*((N-2)*(M-1)+i)-1;scanf("%d",&w);addEdge(u,T,w);}        //读取纵向        for(i=1;i<N;i++)            for(j=1;j<=M;j++)            {                scanf("%d",&w);                if(j==1)                {int u=2*((i-1)*(M-1)+j)-1;addEdge(u,T,w);}                else if(j==M)                {int v=2*((i-1)*(M-1)+j-1);addEdge(S,v,w);}                else                {int u=2*((i-1)*(M-1)+j-1),v=u+1;addEdge(u,v,w);}            }        //读取斜向        for(i=1;i<N;i++)            for(j=1;j<M;j++)            {int u=2*((i-1)*(M-1)+j)-1,v=u+1;scanf("%d",&w);addEdge(u,v,w);}        printf("%d\n",dijkstra());    }    return 0;}/* *  --------- *  |1\2|3\4| *  |---|---| *  |5\6|7\8| *  |---|---| */

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