应用根轨迹分析系统性能

应用根轨迹分析系统性能

　　本节通过几个实例简要介绍根轨迹方法在分析和设计系统中的应用。

　　5.3.1 单参数设计

　　例 5.4: 已知系统的方框图如下：

　　 　　　　　　　　　　　　　　

　　试通过根轨迹方法确定合适的反馈系数 k，使得系统具有阻尼比为 0.4 的闭环共轭复数极点。

　　解：由方框图可得系统的开环传递函数为：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　注意到，参数位于分母中，不是独立的乘积因子，为此，写出系统的特征方程如下：

　　

　　令 K ＝ 20 k，可得：

　　

　　即：

　　由上式确定的零极点图及实轴上的根轨迹如图 5.16(a) 所示。

　　

图 5.16 例 5.4 系 统的根轨迹

　　由规则 5 ，求得渐近线与实轴的交点和交角分别为：

　　

　　

　　由规则 7 可得，开环极点j 2处根轨迹的起始角为：

　　由规则 7 可得，开环极点j 2处根轨迹的起始角为：

　　

　　最终可得系统的根轨迹如图 5.16(b)所示。

　　由题意， 系统所要求的闭环共轭复数极点的阻尼比 x为 0.4 ，过坐标原点，作与负实轴 的交角为 的射线，由图可见，负实轴上方的射线与根轨迹交于P 、 Q两点，即存在两组共轭复数极点满足题意要求。相应的闭环极点为：

　　s P= - 1.05 ± j2.41 和 s Q= - 2.16 ± j4.96

　　应用幅值条件可以求得对应的 K值分别为：

　　

　　

　　

　　即： k P = 0.449， k Q= 1.413。

　　

图 5.17 例 5.4 系 统的单位阶跃响应

　　当 k ＝k P= 0.449时，系统的闭环传递函数为：

　　

　　

　　当 k ＝k Q= 1.413时，系统的闭环传递函数为：

　　

　　系统的阶跃响应如图 5.17 所示。易见当 k ＝ kP = 0.449时，系统具有更好的动态性能。  

　　例 5.3 和例 5.4 均涉及到根据期望的闭环极点位置从根轨迹图上确定期望的参数取值这一问题，显然如果直接采用上述从根轨迹图近似估计参数值的方法，需要在感兴趣的区域绘制相当精确的根轨迹曲线，但离开计算机，完成根轨迹的精确绘制是很困难的。为了获得更为精确的结果，事实上也可根据题意要求，通过解析的方法获得期望的参数值。

　　如对例 5.4 ，根据题意要求，期望的闭环极点可以表示为：　

　　

　　对该极点，由幅角条件有：

　　

　　将上式表示为 f ( x )=0 的形式：

　　

　　应用牛顿迭代公式，可以求得：

　　

　　舍去 w ＝－ 1.766<0 ，即可解得前述期望的闭环极点：