最长公共子序列

动态规划算法解LCS问题

1、最长公共子序列的结构

    最长公共子序列的结构有如下表示：

    设序列X=<x₁, x₂, …, x_m>和Y=<y₁, y₂, …, y_n>的一个最长公共子序列Z=<z₁, z₂, …, z_k>，则：

1. 若x_m=y_n，则z_k=x_m=y_n且Z_k-1是X_m-1和Y_n-1的最长公共子序列；
2. 若x_m≠y_n且z_k≠x_{m ，}则Z是X_m-1和Y的最长公共子序列；
3. 若x_m≠y_n且z_k≠y_n ，则Z是X和Y_n-1的最长公共子序列。

    其中X_m-1=<x₁, x₂, …, x_m-1>，Y_n-1=<y₁, y₂, …, y_n-1>，Z_k-1=<z₁, z₂, …, z_k-1>。

2.子问题的递归结构

    由最长公共子序列问题的最优子结构性质可知，要找出X=<x₁, x₂, …, x_m>和Y=<y₁, y₂, …, y_n>的最长公共子序列，可按以下方式递归地进行：当x_m=y_n时，找出X_m-1和Y_n-1的最长公共子序列，然后在其尾部加上x_m(=y_n)即可得X和Y的一个最长公共子序列。当x_m≠y_n时，必须解两个子问题，即找出X_m-1和Y的一个最长公共子序列及X和Y_n-1的一个最长公共子序列。这两个公共子序列中较长者即为X和Y的一个最长公共子序列。

    由此递归结构容易看到最长公共子序列问题具有子问题重叠性质。例如，在计算X和Y的最长公共子序列时，可能要计算出X和Y_n-1及X_m-1和Y的最长公共子序列。而这两个子问题都包含一个公共子问题，即计算X_m-1和Y_n-1的最长公共子序列。

    与矩阵连乘积最优计算次序问题类似，我们来建立子问题的最优值的递归关系。用c[i,j]记录序列X_i和Y_j的最长公共子序列的长度。其中X_i=<x₁, x₂, …, x_i>，Y_j=<y₁, y₂, …, y_j>。当i=0或j=0时，空序列是X_i和Y_j的最长公共子序列，故c[i,j]=0。其他情况下，由定理可建立递归关系如下：

3.计算最优值

    直接利用上节节末的递归式，我们将很容易就能写出一个计算c[i,j]的递归算法，但其计算时间是随输入长度指数增长的。由于在所考虑的子问题空间中，总共只有θ(m*n)个不同的子问题，因此，用动态规划算法自底向上地计算最优值能提高算法的效率。

    计算最长公共子序列长度的动态规划算法LCS_LENGTH(X,Y)以序列X=<x₁, x₂, …, x_m>和Y=<y₁, y₂, …, y_n>作为输入。输出两个数组c[0..m ,0..n]和b[1..m ,1..n]。其中c[i,j]存储X_i与Y_j的最长公共子序列的长度，b[i,j]记录指示c[i,j]的值是由哪一个子问题的解达到的，这在构造最长公共子序列时要用到。最后，X和Y的最长公共子序列的长度记录于c[m,n]中。

Procedure LCS_LENGTH(X,Y);  begin    m:=length[X];    n:=length[Y];    for i:=1 to m do c[i,0]:=0;    for j:=1 to n do c[0,j]:=0;    for i:=1 to m do      for j:=1 to n do        if x[i]=y[j] then          begin            c[i,j]:=c[i-1,j-1]+1;            b[i,j]:="↖";          end        else if c[i-1,j]≥c[i,j-1] then          begin            c[i,j]:=c[i-1,j];            b[i,j]:="↑";          end        else          begin            c[i,j]:=c[i,j-1];            b[i,j]:="←"          end;    return(c,b);  end;   

    由于每个数组单元的计算耗费Ο(1)时间，算法LCS_LENGTH耗时Ο(mn)。

3、4.构造最长公共子序列

    由算法LCS_LENGTH计算得到的数组b可用于快速构造序列X=<x₁, x₂, …, x_m>和Y=<y₁, y₂, …, y_n>的最长公共子序列。首先从b[m,n]开始，沿着其中的箭头所指的方向在数组b中搜索。当b[i,j]中遇到"↖"时（意味着xi=yi是LCS的一个元素），表示X_i与Y_j的最长公共子序列是由X_i-1与Y_j-1的最长公共子序列在尾部加上x_i得到的子序列；当b[i,j]中遇到"↑"时，表示X_i与Y_j的最长公共子序列和X_i-1与Y_j的最长公共子序列相同；当b[i,j]中遇到"←"时，表示X_i与Y_j的最长公共子序列和X_i与Y_j-1的最长公共子序列相同。这种方法是按照反序来找LCS的每一个元素的。

    下面的算法LCS(b,X,i,j)实现根据b的内容打印出X_i与Y_j的最长公共子序列。通过算法的调用LCS(b,X,length[X],length[Y])，便可打印出序列X和Y的最长公共子序列。

Procedure LCS(b,X,i,j);  begin    if i=0 or j=0 then return;    if b[i,j]="↖" then      begin        LCS(b,X,i-1,j-1);        print(x[i]); {打印x[i]}      end    else if b[i,j]="↑" then LCS(b,X,i-1,j)                         else LCS(b,X,i,j-1);  end;   

在算法LCS中，每一次的递归调用使i或j减1，因此算法的计算时间为O(m+n)。

例如，设所给的两个序列为X=<A，B，C，B，D，A，B>和Y=<B，D，C，A，B，A>。由算法LCS_LENGTH和LCS计算出的结果如下图所示：

    我来说明下此图（参考算法导论）。在序列X={A，B，C，B，D，A，B}和 Y={B，D，C，A，B，A}上，由LCS_LENGTH计算出的表c和b。第i行和第j列中的方块包含了c[i，j]的值以及指向b[i，j]的箭头。在c[7,6]的项4，表的右下角为X和Y的一个LCS<B，C，B，A>的长度。对于i，j>0，项c[i，j]仅依赖于是否有xi=yi，及项c[i-1，j]和c[i，j-1]的值，这几个项都在c[i，j]之前计算。为了重构一个LCS的元素，从右下角开始跟踪b[i，j]的箭头即可，这条路径标示为阴影，这条路径上的每一个“↖”对应于一个使xi=yi为一个LCS的成员的项（高亮标示）。

    所以根据上述图所示的结果，程序将最终输出：“B C B A”。

给出代码：

#include <stdio.h>#include <string.h>int calLCS(char *cNumA,char *cNumB,int (*iLCS)[20],int iLenA,int iLenB){int i,j;for (i=0;i<=iLenA;i++){iLCS[i][0]=0;}for (j=0;j<=iLenB;j++){iLCS[0][j]=0;}for (i=1;i<=iLenA;i++){for (j=1;j<=iLenB;j++){if (cNumA[i-1]==cNumB[j-1]){iLCS[i][j]=iLCS[i-1][j-1]+1;}else {if (iLCS[i-1][j]>=iLCS[i][j-1]){iLCS[i][j]=iLCS[i-1][j];}else{iLCS[i][j]=iLCS[i][j-1];}}}}return 0;}void printLCS(int (*iLCS)[20],char *cNumA,char *cNumB,int iLenA,int iLenB){int iIndex=0,i;char arrLCS[20];while (iLenA>0&&iLenB>0){if (cNumA[iLenA-1]==cNumB[iLenB-1]){arrLCS[iIndex++]=cNumA[iLenA-1];iLenA--;iLenB--;}else{if (iLCS[iLenA-1][iLenB]>=iLCS[iLenA][iLenB-1]){iLenA--;}else{iLenB--;}}}printf("The LCS sequence is :  \n");for (i=iIndex-1;i>=0;i--){printf("%c   ",arrLCS[i]);}printf("\n");}int main(){char cNumA[20],cNumB[20];int iLCS[20][20],iLenA,iLenB;FILE *outfile=fopen("E://a.txt","r");if (!outfile){printf("The file cannot be opened!\n");return 0;}printf("Input two strings!\n");fgets(cNumA,sizeof(cNumA),outfile);fgets(cNumB,sizeof(cNumB),outfile);iLenA=strlen(cNumA)-1;iLenB=strlen(cNumB)-1;calLCS(cNumA,cNumB,iLCS,iLenA,iLenB);printLCS(iLCS,cNumA,cNumB,iLenA,iLenB);return 0;}