扩展欧几里德（摘自JokerPark）

扩展欧几里得算法用于求解二元一次不定方程

ax+by=c

可以证明ax+by的最小正整数是gcd(a,b)。

设：ax+by=bx'+(a mod b)y'=gcd(a,b),  g=gcd(a,b)

a mod b=a-[a/b]*b    //[a/b]暂且认为表示a除以b的下取整。。。

则有：

g=bx'+(a mod b)y'

 =bx'+(a-[a/b]*b)y'

 =bx'+ay'-[a/b]*by'

 =ay'+b(x'-[a/b]y')=ax+by

 

从最后的化简结果可以看出求解二元一次不定方程可以用递归做。

不断调用gcd，到最后a=1，b=0是就可以求出x=1，y=0，再往上带。

这里的x，y就相当于上一层递归中的x'，y'，代入ay'+b(x'-[a/b]y')=ax+by，求解x，y

 

最后x0=x*(c/g)  y0=y*(c/g)

 

对于方程其他的解：

设：

ax+by=ax'+by'

移项得：

a(x-x')=b(y'-y)

[a(x-x')]/gcd(a,b)=[b(y'-y)]/gcd(a,b)

因为a/gcd(a,b)⊥b/gcd(a,b)

所以x-x'=t*b/gcd(a,b)  y'-y=t*a/gcd(a,b)

x=x'+t*b/gcd(a,b)  y=y'-t*a/gcd(a,b)

 

CODE

 

function extended_gcd(a,b:longint;varx,y:longint):longint;

var t:longint;

begin

  ifb=0then

  begin

    extended_gcd:=a;

    x:=1; y:=0;

  endelse

  begin

    extended_gcd:=extended_gcd(b,amodb,x,y);

    t:=x; x:=y; y:=t-(adivb)*y;

  end;

end;
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上面是摘抄的，好久没做数论了，贴我的模版：


function ext_gcd(a,b:longint;var x1,y1:longint);var x2,y2:longint;begin     if b=0 then begin        ext_gcd:=a;        x1;=1;        y1:=0;     end else begin         ext_gcd:=ext_gcd(b,a mod b,x2,y2);         x1:=y2;         y1:=x2-y2*(a div b);     end;end;