（扩展）欧几里德

        欧几里德算法又称辗转相除法，可以看成是用状态转移来求最大公约数： 设a，b(a>=b，且b!=0)，d=gcd(a,b)，则d=gcd(b，a%b)。

证明：设r=a%b，既a=b*k+r (k=int(a%b))，故r=a-b*k，r%d=(a-b*k)%d=((a%d)-(b*k)%d+d)%d=0，所以gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，既求gcd（a,b）,转化为求gcd（b,a%b），这就是一个递归的过程了，当gcd(a,b)里的b==0时，递归结束，返回a便是所求结果。

代码如下：

       明白上面以后，扩展欧几里德就容易理解了：已知a,b（a>b）求解一组x,y，使得a*x+b*y=gcd(a,b)=d。

      扩展欧几里德其实就是用于求解上式中的一组x,y，具体过程如下：

      假设当前状态为 a*x1+b*y1=gcd(a,b)，下一个状态为b*x2+(a%b)*y2=gcd(b,a%b)，现在找两个状态之间的联系 ：

因为gcd(a,b)=gcd(b,a%b)，所以

a*x1+b*y1=b*x2+(a%b)*y2

                  =b*x2+(a-k*b)*y2，(k=int(a/b))

                  =a*y2+b*(x2-k*y2)，

      从而有：x1=y2，y1=x2-k*y2=x2-k*x1。如果你理解了这个过程，就会发现，当前状态中的x1和y1可由它的下一个状态中的x2和y2得到。

 代码如下：

void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){    if (!b) {        x=1,y=0,d=a;//此时a是最开始（a,b）的最大公约数，那么  gcd（a,b）*1+ 0*0=gcd(a,b),肯定对的，在这里，我认为，y可以为任何值都对    }    else {  exgcd(b,a%b,d,y,x); y-=a/b*x;  }}

      应用：

     扩展欧几里得算法的应用基本全都是基于a*x+b*y=d 这个式子来发散的，如求直线上的整数点：

   求直线a*x+b*y+c=0上有多少个整数点满足x1<=x<=x2，y1<=y<=y2。

   由扩展欧几里得算出一组解x1和y1后，设它的另一组解为x2和y2，则a*x1+b*y1=a*x2+b*y2，整理得a*(x1-y1)=b*(y2-y1)，令g=gcd(a,b)，在方程两边同除于g，并令aa=a/g，bb=b/g，有aa*(x1-y1)=bb*(y2-y1)，注意aa和bb互素，所以x1-y1一定是bb的整数倍，设k*b=x1-y1，代入得y2-y1=aa*k。注意前面推导时并没有用到a*x+b*y的左边是什么，所以有如下结论：

      设a，b，c为任意整数，若方程a*x+b*y=c的一组整数解是（x0,y0），则它的任意整数解都可以写成（x0+bb*k，y0-aa*k），其中aa=a/gcd(a，b),bb=b/gcd(a，b)，k为任意整数。

     有了这个结论，我们离原题已经很接近了，将原题的a*x+b*y+c=0移项得a*x+b*y=-c，求出一组整数解就行了，那么如何求出一组整数解呢？联系前面可知，当c为g=gcd(a,b)的整数倍是，方程的一组解是（x0*（c/g），y0*（c/g）），（x0,y0是由a*x+b*y=g求得），若c不是g的整数倍，则方程无整数解。