等概率选取未知长度的链表中的元素

 

有个链表，长度未知，要随机（等概率）选取其中的item

代码如下：
int nmatch = 0;
for ( p=list; p!=NULL; p=p->next ){
    if ( rand() % ++nmatch == 0 ){
        wanted = p;
    }
} 
wanted 即为所求item

命题： 链表中的每个元素的选择概率为1/n，其中n=链表长度
以n为归纳条件
证明如下：
当n=1时，有100%的概率选取第1个item，链表中的每个元素的选择概率为1/1
当n=2时，第一次循环时有100%的概率选取第1个item，第2次循环时有50%的概率选取第2个item(即替换了第1个元素)，因此当链表有2个item时，任何一个被选取的概率都是1/2
假设当n=k时，链表中的每个元素的选择概率为1/k
当n=k+1时，将k+1个元素的链表分成两部分(前k个元素组成的链表和第k+1个元素)。由归纳假设，前k次循环可以使链表的前k个元素的每一个被选中的概率为1/k，设前k个元素中的任何一个为i，则选取i的概率为1/k。
最后一次循环的if ( rand() % ++nmatch == 0 )，使得选取第k+1个元素的概率是1/(k+1)。
则在k+1个元素的链表中选取i的概率为1/k-1/k*1/(k+1)=1/(k+1)，其中1/k表示前k个元素中选中i的概率，1/k*1/(k+1)表示选中i之后又选了第k+1个元素(即选中的元素i被k+1替换了)。由于i的一般性，则前k个元素的选取概率都为1/(k+1)。从而在有k+1个元素的链表中，每个元素的选取概率都是1/(k+1)，得证。