最近点对问题

算法分类：

分治

算法问题描述：

平面上有n个点的集合，在n中找到一对点p和q，使其相互之间的距离最短。（在所有S中点对间最小）

算法原理：

最近点对问题定义：已知上m个点的集合，找出对接近的一对点。

     在二维空间里，可用分治法求解最近点对问题。预处理：分别根据点的x轴和y轴坐标进行排序，得到X和Y,很显然此时X和Y中的点就是S中的点。

情况（1）：点数小于等于三时：

                                

情况（2）：点数大于三时：

     首先划分集合S为SL和SR，使得SL中的每一个点位于SR中每一个点的左边，并且SL和SR中点数相同。分别在SL和SR中解决最近点对问题，得到DL和DR，分别表示SL和SR中的最近点对的距离。令d=min(DL,DR)。如果S中的最近点对(P1,P2)。P1、P2两点一个在SL和一个在SR中，那么P1和P2一定在以L为中心的间隙内，以L-d和L+d为界，如下图所示：

                       

     如果在SL中的点P和在SR中的点Q成为最近点对，那么P和Q的距离必定小于d。因此对间隙中的每一个点，在合并步骤中，只需要检验yp+d和yp-d内的点即可。

步骤1：根据点的y值和x值对S中的点排序。

步骤2：找出中线L将S划分为SL和SR

步骤3：将步骤2递归的应用解决SL和SR的最近点对问题，并令d=min(dL,dR)。

步骤4：将L-d~L+d内的点以y值排序，对于每一个点(x1,y1)找出y值在y1-d~y1+d内的所有点，计算距离为d'。                 如果d'小于d，令d=d'，最后的d值就是答案。

时空复杂度：

(theta)O(nlogn)

代码实现：(hdu1007)

#include <iostream>#include <math.h>#include <algorithm>using namespace std;const int N = 100005;const double INF = 1e20;struct Point {double x, y;}p[N];int temp[N];bool cmp_x(Point a, Point b) {if (a.x == b.x)return a.y < b.y;return a.x < b.x;};bool cmp_y(int a, int b) {return p[a].y < p[b].y;};double Distance(Point a, Point b) {double m = a.x - b.x;double n = a.y - b.y;return sqrt(m*m+n*n);};double MIN(double a, double b) {return a < b ? a : b;};double Closest_Pair(int l, int r) {double d = INF;if (l+1 == r)return d;if (l+2 == r)return Distance(p[l],p[l+1]);// Step 1: 对S中的点按X升序排序// Step 2: 找出中线将S分为SL和SRint mid = (l+r) >> 1;// Step 3: 按递归解决SL和SR的最近点对问题double d1 = Closest_Pair(l, mid);double d2 = Closest_Pair(mid+1, r);// Step 4: 按L-d~L+d内的点以y值排序，// 对于每一个点(x1,y1)找出y值在y1-d~y1+d内的所有点 // 计算距离d`, 若d`小于d，则d=d`d = MIN(d1, d2);int i, j, k = 0;// 分离出宽度为d的区间 for (i = l; i < r; ++ i) {if (fabs(p[mid].x - p[i].x) <= d) {temp[k++] = i;}}sort(temp, temp+k, cmp_y);// 暴力扫描for (i = 0; i < k; ++ i) {for (j = i+1; j < k && p[temp[j]].y - p[temp[i]].y < d; ++ j) {double d3 = Distance(p[temp[j]], p[temp[i]]);if (d > d3) d = d3;}} return d;};int main(){int n;while (scanf("%d",&n)!=EOF, n){for (int i = 0; i < n; ++ i) scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);sort(p, p+n, cmp_x);printf("%.2lf\n",Closest_Pair(0, n)/2);}}