常用数据结构-几种特殊的二叉树

继续未尽的事情。

  查找二叉树（二叉排序树）

二叉排序树(Binary Sort Tree)又称二叉查找树(Binary Search Tree)。其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质的二叉树：
        ①若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
        ②若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
        ③左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。

例：

对排序二叉树的一些操作

查找：若根结点的关键字值等于查找的关键字，成功。
　　           否则，若小于根结点的关键字值，递归查左子树。
　　           若大于根结点的关键字值，递归查右子树。
　　           若子树为空，查找不成功。

插入：分以下几种情况进行相应的处理：

         ①如果相同键值的结点已在查找二叉树中，则不再插入；
                ②如果查找二叉树为空树，则以新结点为查找二叉树；
                ③将要插入结点的键值与插入后的父结点的键值比较，就能确定新结点是父结点的左子结点，还是右子结点，并进行相应插入，新插入的结点一定是一个新添加的叶子结点。

删除：分以下几种情况进行相应的处理：

         ①若待删除的结点p是叶子结点，则直接删除该结点；
                ②若待删除的结点p只有一个子节点，则将这个子结点与待删除结点的父结点直接连接，然后删除节点p；
                ③若待删除的结点p有两个子结点，则在其左子树上，用中序遍历寻找关健值最大的结点s，用结点s的值代替结点p的值，然后删除节点s，结点s必属于上述①、②情况之一。

                例：删除图1中的根结点5

              首先，中序遍历结点5的左子树，获得最大的结点s=4，将p=5和s=4互换位置，发现要删除的p结点属于第①种情况，则直接删除p=5结点。

   最优二叉树（哈夫曼树）

最优二叉树是带权路径长度最小的树。

基本术语

树的路径长度：是从树根到树中每一个结点的路径长度之和。在结点数目相同的二叉树中，完全二叉树的路径长度最短。

结点的权：根据应用的需要给树的结点赋的权值。

带权路径长度：结点到树根之间的路径长度与该结点上权的乘积，称为结点的带权路径长度。

树的带权路径长度（树的代价）:树中所有叶结点的带权路径长度之和，称为树的代价。

构造哈夫曼树

哈弗曼编码

求出哈夫曼树后，以上图为例，只需人为规定左侧为0，右侧为1，那么结点23的编码是：00；结点11的编码是：010。哈夫曼编码是一种应用广泛且非常有效的数据压缩技术，该技术一般可将数据文件压缩掉20%-90%，其压缩效率取决于被压缩文件的特征。

  线索二叉树

二叉树的遍历本质上是将一个复杂的非线性结构转换为线性结构，使每个结点都有了唯一前驱和后继（第一个结点无前驱，最后一个结点无后继）。对于二叉树的一个结点，查找其左右子女是方便的，其前驱后继只有在遍历中得到。为了容易找到前驱和后继，有两种方法。一是在结点结构中增加向前和向后的指针fwd和bkd，这种方法增加了存储开销，不可取；二是利用二叉树的空链指针。现将二叉树的结点结构重新定义如下：

对于标志域规定如下：

Lbit=0，Lchild是通常的指正；Lbit=1，Lchild是线索；

Rbit=0，Rchild是通常的指针；Rbit=1，Rchild是线索；

将二叉树转化为线索二叉树

第一步：将将二叉树的前序遍历、中序遍历、后序遍历的顺序写下来；

下图前序遍历顺序：A B D E H C F G I

中序遍历：D B H E A F C G I

后序遍历：D H E B F I G C A

第二步：参照遍历的顺序，找到各个结点对应的前驱和后驱，如下图：

绿色线表示前驱；红色线表示后驱。

上面提到线索二叉树的使用就是为了方便的找到前驱和后驱，对于中序遍历，右指针为空的结点D E H F I，利用线索（红色箭头）可以直接标识出该结点的后驱；但对于右指针非空的普通的结点B、A、C、G，它的后继是右子树最左下的结点，比如B的后继结点为H，A的后继结点为F，因此，中序遍历中找后驱分为两种情况。

后序线索二叉树找后驱可分为三种情况，第一种：根结点后序为null；

第二种，如果一个结点为父结点的右孩子或父结点的左孩子（父结点没有右子树），他的后继就是父结点；比如C的后驱为A结点。

第三种，如果结点是父节点的左孩子，而且父结点有右孩子，那么后继为父结点的右子树按后序遍历列出的第一个结点。比如B结点的后继结点为F结点。

  平衡二叉树

定义：一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的提出大大降低了操作的时间复杂度。

动态调平衡

LL型平衡旋转（单向右旋平衡处理）

RR型平衡旋转（单向左旋转平衡处理）

LR型平衡旋转（双向旋转，先左后右）

RL型平衡旋转（双向旋转，先右后左）

  堆

再补充一个堆，其实一般所说的堆就是一棵完全二叉树。

定义：n个元素的序列{k1，k2，...，kn}当满足下列关系关系时，称为堆：

Ki <= K2i 且 Ki <= K2i+1或者Ki>=K2i且Ki>=K2i+1；

定义比较抽象，举例说明：

Ki <= K2i 且 Ki <= K2i+1：以上图为例，1结点 < 2结点且1结点 < 3结点，下面子树同样成立（孩子结点大于父结点），因此这类完全二叉树就被称为小根堆；

如果有一棵完全二叉树符合Ki>=K2i且Ki>=K2i+1（和上面类似，不演示例子），孩子结点小于父结点，这类二叉树被称为大根堆。

特性

对于结点i，i>=n/2时，表示结点i为叶子结点。