Dice (I) lightOJ 1145

**题目大意**：

N个K面色子排成一列，使得朝上那面的数字和为S，有几种排法？


**题目类型**：

动态规划


**解题思路**：

dp[i][j]保存前i个色子总和为j有几种方法。
转移方程：dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j-2]+...+dp[i-1][j-K];

状态有N*S个，转移复杂度是K，朴素的做法肯定会超时，那如何优化呢？

把DP数组想象成平面二维矩阵，再想象下转移方程，就会发现dp[i][j]和dp[i][j-1]的转移方程有很大的重叠部分，具体如下：

dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j-2]+...+dp[i-1][j-K];

dp[i][j-1]=           dp[i-1][j-2]+...+dp[i-1][j-K]+dp[i-1][j-K-1];

因此可以得到dp[i][j]=dp[i][j-1]-dp[i-1][j-K-1]+dp[i-1][j-1];

转移已经优化到O(1)复杂度了，但dp数组是N*S=1500w的复杂度，因此要用滚动数组优化一下，变成O(S)。

虽然这道题归类为DP，但由于没有任何特殊限制，可以有更高效的方法，用容斥原理可达O(N)复杂度。

设f(i)=N个色子里至少有i个色子超过K，且色子总和为S的方法数;

则答案为f(0)-f(1)+f(2)-f(3)...±f(N)

f(i)的求法：N个色子选i个有C(N,i)种(这i个是保证要超过K的，其他的超不超过无所谓)，每种情况下要把S-i*K分成N份且每份至少为1。所以f(i)=C(N,i)*C(S-i*K-1,N-1);