算法系列15天速成——第十五天 图【下】（大结局）

  今天是大结局，说下“图”的最后一点东西，“最小生成树“和”最短路径“。

 

一： 最小生成树

1. 概念

    首先看如下图，不知道大家能总结点什么。

    对于一个连通图G，如果其全部顶点和一部分边构成一个子图G1，当G1满足：

       ① 刚好将图中所有顶点连通。②顶点不存在回路。则称G1就是G的“生成树”。

           其实一句话总结就是：生成树是将原图的全部顶点以最小的边连通的子图，这不，如下的连通图可以得到下面的两个生成树。

       ② 对于一个带权的连通图，当生成的树不同，各边上的权值总和也不同，如果某个生成树的权值最小，则它就是“最小生成树”。

     

2. 场景

      实际应用中“最小生成树”还是蛮有实际价值的，教科书上都有这么一句话，若用图来表示一个交通系统，每一个顶点代表一个城市，

  边代表两个城市之间的距离，当有n个城市时，可能会有n(n-1)/2条边，那么怎么选择(n-1)条边来使城市之间的总距离最小，其实它

  的抽象模型就是求“最小生成树”的问题。

 

3. prim算法

    当然如何求“最小生成树”问题，前人都已经给我们总结好了，我们只要照葫芦画瓢就是了，

    第一步：我们建立集合“V,U"，将图中的所有顶点全部灌到V集合中，U集合初始为空。

    第二步： 我们将V1放入U集合中并将V1顶点标记为已访问。此时：U（V1）。

    第三步： 我们寻找V1的邻接点（V2,V3,V5)，权值中发现(V1,V2)之间的权值最小，此时我们将V2放入U集合中并标记V2为已访问，

                此时为U（V1，V2）。

    第四步： 我们找U集合中的V1和V2的邻接边，一阵痉挛后，发现（V1，V5）的权值最小，此时将V5加入到U集合并标记为已访问，此时

                 U的集合元素为（V1，V2，V5）。

    第五步：此时我们以（V1，V2，V5）为基准向四周寻找最小权值的邻接边，发现（V5，V4）的权值最小，此时将V4加入到U集合并标记

                 为已访问，此时U的集合元素为（V1，V2，V5，V4）。

    第六步： 跟第五步形式一样，找到了（V1，V3）的权值最小，将V3加入到U集合中并标记为已访问，最终U的元素为（V1，V2，V5，V4，V3），

                最终发现顶点全部被访问，最小生成树就此诞生。

#region prim算法获取最小生成树         /// <summary> /// prim算法获取最小生成树 /// </summary> /// <param name="graph"></param>         public void Prim(MatrixGraph graph, out int sum)         {             //已访问过的标志             int used = 0;              //非邻接顶点标志             int noadj = -1;              //定义一个输出总权值的变量             sum = 0;              //临时数组，用于保存邻接点的权值             int[] weight = new int[graph.vertexNum];              //临时数组，用于保存顶点信息             int[] tempvertex = new int[graph.vertexNum];              //取出邻接矩阵的第一行数据，也就是取出第一个顶点并将权和边信息保存于临时数据中             for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++)             {                 //保存于邻接点之间的权值                 weight[i] = graph.edges[0, i];                  //等于0则说明V1与该邻接点没有边                 if (weight[i] == short.MaxValue)                     tempvertex[i] = noadj;                 else                     tempvertex[i] = int.Parse(graph.vertex[0]);             }              //从集合V中取出V1节点，只需要将此节点设置为已访问过，weight为0集合             var index = tempvertex[0] = used;             var min = weight[0] = short.MaxValue;              //在V的邻接点中找权值最小的节点             for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++)             {                 index = i;                 min = short.MaxValue;                  for (int j = 1; j < graph.vertexNum; j++)                 {                     //用于找出当前节点的邻接点中权值最小的未访问点                     if (weight[j] < min && tempvertex[j] != 0)                     {                         min = weight[j];                         index = j;                     }                 }                 //累加权值                 sum += min;                  Console.Write("({0},{1})  ", tempvertex[index], graph.vertex[index]);                  //将取得的最小节点标识为已访问                 weight[index] = short.MaxValue;                 tempvertex[index] = 0;                  //从最新的节点出发，将此节点的weight比较赋值                 for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++)                 {                     //已当前节点为出发点，重新选择最小边                     if (graph.edges[index, j] < weight[j] && tempvertex[j] != used)                     {                         weight[j] = graph.edges[index, j];                          //这里做的目的将较短的边覆盖点上一个节点的邻接点中的较长的边                         tempvertex[j] = int.Parse(graph.vertex[index]);                     }                 }             }         }         #endregion

二： 最短路径

1.   概念

        求最短路径问题其实也是非常有实用价值的，映射到交通系统图中，就是求两个城市间的最短路径问题，还是看这张图，我们可以很容易的看出比如

     V1到图中各顶点的最短路径。

      ① V1  ->  V2              直达，     权为2。

      ② V1  ->  V3              直达        权为3。

      ③ V1->V5->V4           中转       权为3+2=5。

      ④ V1  ->  V5               直达      权为3。

  、

2.  Dijkstra算法

      我们的学习需要站在巨人的肩膀上，那么对于现实中非常复杂的问题，我们肯定不能用肉眼看出来，而是根据一定的算法推导出来的。

  Dijkstra思想遵循 “走一步，看一步”的原则。

     第一步： 我们需要一个集合U，然后将V1放入U集合中，既然走了一步，我们就要看一步，就是比较一下V1的邻接点（V2，V3，V5），

                 发现（V1，V2）的权值最小，此时我们将V2放入U集合中，表示我们已经找到了V1到V2的最短路径。

     第二步：然后将V2做中间点，继续向前寻找权值最小的邻接点，发现只有V4可以连通，此时修改V4的权值为（V1，V2)+(V2，V4)=6。

                此时我们就要看一步，发现V1到（V3，V4，V5）中权值最小的是（V1，V5），此时将V5放入U集合中，表示我们已经找到了

                V1到V5的最短路径。

     第三步：然后将V5做中间点，继续向前寻找权值最小的邻接点，发现能连通的有V3，V4，当我们正想修该V3的权值时发现（V1，V3）的权值

                小于（V1->V5->V3),此时我们就不修改，将V3放入U集合中，最后我们找到了V1到V3的最短路径。

     第四步：因为V5还没有走完，所以继续用V5做中间点，此时只能连通(V5,V4),当要修改权值的时候，发现原来的V4权值为(V1,V2)+(V2,V4),而

                现在的权值为5，小于先前的6，此时更改原先的权值变为5，将V4放入集合中，最后我们找到了V1到V4的最短路径。

 

#region dijkstra求出最短路径         /// <summary> /// dijkstra求出最短路径 /// </summary> /// <param name="g"></param>         public void Dijkstra(MatrixGraph g)         {             int[] weight = new int[g.vertexNum];              int[] path = new int[g.vertexNum];              int[] tempvertex = new int[g.vertexNum];              Console.WriteLine("\n请输入源点的编号：");              //让用户输入要遍历的起始点             int vertex = int.Parse(Console.ReadLine()) - 1;              for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)             {                 //初始赋权值                 weight[i] = g.edges[vertex, i];                  if (weight[i] < short.MaxValue && weight[i] > 0)                     path[i] = vertex;                  tempvertex[i] = 0;             }              tempvertex[vertex] = 1;             weight[vertex] = 0;              for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)             {                 int min = short.MaxValue;                  int index = vertex;                  for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++)                 {                     //顶点的权值中找出最小的                     if (tempvertex[j] == 0 && weight[j] < min)                     {                         min = weight[j];                         index = j;                     }                 }                  tempvertex[index] = 1;                  //以当前的index作为中间点，找出最小的权值                 for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++)                 {                     if (tempvertex[j] == 0 && weight[index] + g.edges[index, j] < weight[j])                     {                         weight[j] = weight[index] + g.edges[index, j];                         path[j] = index;                     }                 }             }              Console.WriteLine("\n顶点{0}到各顶点的最短路径为：（终点 < 源点） " + g.vertex[vertex]);              //最后输出             for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)             {                 if (tempvertex[i] == 1)                 {                     var index = i;                      while (index != vertex)                     {                         var j = index;                         Console.Write("{0} < ", g.vertex[index]);                         index = path[index];                     }                     Console.WriteLine("{0}\n", g.vertex[index]);                 }                 else                 {                     Console.WriteLine("{0} <- {1}: 无路径\n", g.vertex[i], g.vertex[vertex]);                 }             }         }         #endregion

最后上一下总的运行代码

View Code  using System; using System.Collections.Generic; using System.Linq; using System.Text;  namespace MatrixGraph {     public class Program     {         static void Main(string[] args)         {             MatrixGraphManager manager = new MatrixGraphManager();              //创建图             MatrixGraph graph = manager.CreateMatrixGraph();              manager.OutMatrix(graph);              int sum = 0;              manager.Prim(graph, out sum);              Console.WriteLine("\n最小生成树的权值为：" + sum);              manager.Dijkstra(graph);              //Console.Write("广度递归:\t");  //manager.BFSTraverse(graph);  //Console.Write("\n深度递归:\t");  //manager.DFSTraverse(graph);              Console.ReadLine();          }     }      #region 邻接矩阵的结构图     /// <summary> /// 邻接矩阵的结构图 /// </summary>     public class MatrixGraph     {         //保存顶点信息         public string[] vertex;          //保存边信息         public int[,] edges;          //深搜和广搜的遍历标志         public bool[] isTrav;          //顶点数量         public int vertexNum;          //边数量         public int edgeNum;          //图类型         public int graphType;          /// <summary> /// 存储容量的初始化 /// </summary> /// <param name="vertexNum"></param> /// <param name="edgeNum"></param> /// <param name="graphType"></param>         public MatrixGraph(int vertexNum, int edgeNum, int graphType)         {             this.vertexNum = vertexNum;             this.edgeNum = edgeNum;             this.graphType = graphType;              vertex = new string[vertexNum];             edges = new int[vertexNum, vertexNum];             isTrav = new bool[vertexNum];         }      }     #endregion      /// <summary> /// 图的操作类 /// </summary>     public class MatrixGraphManager     {         #region 图的创建         /// <summary> /// 图的创建 /// </summary> /// <param name="g"></param>         public MatrixGraph CreateMatrixGraph()         {             Console.WriteLine("请输入创建图的顶点个数，边个数，是否为无向图(0,1来表示)，已逗号隔开。");              var initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(i => int.Parse(i)).ToList();              MatrixGraph graph = new MatrixGraph(initData[0], initData[1], initData[2]);              //我们默认“正无穷大为没有边”             for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)             {                 for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++)                 {                     graph.edges[i, j] = short.MaxValue;                 }             }              Console.WriteLine("请输入各顶点信息：");              for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)             {                 Console.Write("\n第" + (i + 1) + "个顶点为:");                  var single = Console.ReadLine();                  //顶点信息加入集合中                 graph.vertex[i] = single;             }              Console.WriteLine("\n请输入构成两个顶点的边和权值，以逗号隔开。\n");              for (int i = 0; i < graph.edgeNum; i++)             {                 Console.Write("第" + (i + 1) + "条边:\t");                  initData = Console.ReadLine().Split(',').Select(j => int.Parse(j)).ToList();                  int start = initData[0];                 int end = initData[1];                 int weight = initData[2];                  //给矩阵指定坐标位置赋值                 graph.edges[start - 1, end - 1] = weight;                  //如果是无向图，则数据呈“二，四”象限对称                 if (graph.graphType == 1)                 {                     graph.edges[end - 1, start - 1] = weight;                 }             }              return graph;         }         #endregion          #region 输出矩阵数据         /// <summary> /// 输出矩阵数据 /// </summary> /// <param name="graph"></param>         public void OutMatrix(MatrixGraph graph)         {             for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)             {                 for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++)                 {                     if (graph.edges[i, j] == short.MaxValue)                         Console.Write("∽\t");                     else                         Console.Write(graph.edges[i, j] + "\t");                 }                 //换行                 Console.WriteLine();             }         }         #endregion          #region 广度优先         /// <summary> /// 广度优先 /// </summary> /// <param name="graph"></param>         public void BFSTraverse(MatrixGraph graph)         {             //访问标记默认初始化             for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)             {                 graph.isTrav[i] = false;             }              //遍历每个顶点             for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)             {                 //广度遍历未访问过的顶点                 if (!graph.isTrav[i])                 {                     BFSM(ref graph, i);                 }             }         }          /// <summary> /// 广度遍历具体算法 /// </summary> /// <param name="graph"></param>         public void BFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)         {             //这里就用系统的队列             Queue<int> queue = new Queue<int>();              //先把顶点入队             queue.Enqueue(vertex);              //标记此顶点已经被访问             graph.isTrav[vertex] = true;              //输出顶点             Console.Write(" ->" + graph.vertex[vertex]);              //广度遍历顶点的邻接点             while (queue.Count != 0)             {                 var temp = queue.Dequeue();                  //遍历矩阵的横坐标                 for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)                 {                     if (!graph.isTrav[i] && graph.edges[temp, i] != 0)                     {                         graph.isTrav[i] = true;                          queue.Enqueue(i);                          //输出未被访问的顶点                         Console.Write(" ->" + graph.vertex[i]);                     }                 }             }         }         #endregion          #region 深度优先         /// <summary> /// 深度优先 /// </summary> /// <param name="graph"></param>         public void DFSTraverse(MatrixGraph graph)         {             //访问标记默认初始化             for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)             {                 graph.isTrav[i] = false;             }              //遍历每个顶点             for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)             {                 //广度遍历未访问过的顶点                 if (!graph.isTrav[i])                 {                     DFSM(ref graph, i);                 }             }         }          #region 深度递归的具体算法         /// <summary> /// 深度递归的具体算法 /// </summary> /// <param name="graph"></param> /// <param name="vertex"></param>         public void DFSM(ref MatrixGraph graph, int vertex)         {             Console.Write("->" + graph.vertex[vertex]);              //标记为已访问             graph.isTrav[vertex] = true;              //要遍历的六个点             for (int i = 0; i < graph.vertexNum; i++)             {                 if (graph.isTrav[i] == false && graph.edges[vertex, i] != 0)                 {                     //深度递归                     DFSM(ref graph, i);                 }             }         }         #endregion         #endregion          #region prim算法获取最小生成树         /// <summary> /// prim算法获取最小生成树 /// </summary> /// <param name="graph"></param>         public void Prim(MatrixGraph graph, out int sum)         {             //已访问过的标志             int used = 0;              //非邻接顶点标志             int noadj = -1;              //定义一个输出总权值的变量             sum = 0;              //临时数组，用于保存邻接点的权值             int[] weight = new int[graph.vertexNum];              //临时数组，用于保存顶点信息             int[] tempvertex = new int[graph.vertexNum];              //取出邻接矩阵的第一行数据，也就是取出第一个顶点并将权和边信息保存于临时数据中             for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++)             {                 //保存于邻接点之间的权值                 weight[i] = graph.edges[0, i];                  //等于0则说明V1与该邻接点没有边                 if (weight[i] == short.MaxValue)                     tempvertex[i] = noadj;                 else                     tempvertex[i] = int.Parse(graph.vertex[0]);             }              //从集合V中取出V1节点，只需要将此节点设置为已访问过，weight为0集合             var index = tempvertex[0] = used;             var min = weight[0] = short.MaxValue;              //在V的邻接点中找权值最小的节点             for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++)             {                 index = i;                 min = short.MaxValue;                  for (int j = 1; j < graph.vertexNum; j++)                 {                     //用于找出当前节点的邻接点中权值最小的未访问点                     if (weight[j] < min && tempvertex[j] != 0)                     {                         min = weight[j];                         index = j;                     }                 }                 //累加权值                 sum += min;                  Console.Write("({0},{1})  ", tempvertex[index], graph.vertex[index]);                  //将取得的最小节点标识为已访问                 weight[index] = short.MaxValue;                 tempvertex[index] = 0;                  //从最新的节点出发，将此节点的weight比较赋值                 for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++)                 {                     //已当前节点为出发点，重新选择最小边                     if (graph.edges[index, j] < weight[j] && tempvertex[j] != used)                     {                         weight[j] = graph.edges[index, j];                          //这里做的目的将较短的边覆盖点上一个节点的邻接点中的较长的边                         tempvertex[j] = int.Parse(graph.vertex[index]);                     }                 }             }         }         #endregion          #region dijkstra求出最短路径         /// <summary> /// dijkstra求出最短路径 /// </summary> /// <param name="g"></param>         public void Dijkstra(MatrixGraph g)         {             int[] weight = new int[g.vertexNum];              int[] path = new int[g.vertexNum];              int[] tempvertex = new int[g.vertexNum];              Console.WriteLine("\n请输入源点的编号：");              //让用户输入要遍历的起始点             int vertex = int.Parse(Console.ReadLine()) - 1;              for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)             {                 //初始赋权值                 weight[i] = g.edges[vertex, i];                  if (weight[i] < short.MaxValue && weight[i] > 0)                     path[i] = vertex;                  tempvertex[i] = 0;             }              tempvertex[vertex] = 1;             weight[vertex] = 0;              for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)             {                 int min = short.MaxValue;                  int index = vertex;                  for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++)                 {                     //顶点的权值中找出最小的                     if (tempvertex[j] == 0 && weight[j] < min)                     {                         min = weight[j];                         index = j;                     }                 }                  tempvertex[index] = 1;                  //以当前的index作为中间点，找出最小的权值                 for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++)                 {                     if (tempvertex[j] == 0 && weight[index] + g.edges[index, j] < weight[j])                     {                         weight[j] = weight[index] + g.edges[index, j];                         path[j] = index;                     }                 }             }              Console.WriteLine("\n顶点{0}到各顶点的最短路径为：（终点 < 源点） " + g.vertex[vertex]);              //最后输出             for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)             {                 if (tempvertex[i] == 1)                 {                     var index = i;                      while (index != vertex)                     {                         var j = index;                         Console.Write("{0} < ", g.vertex[index]);                         index = path[index];                     }                     Console.WriteLine("{0}\n", g.vertex[index]);                 }                 else                 {                     Console.WriteLine("{0} <- {1}: 无路径\n", g.vertex[i], g.vertex[vertex]);                 }             }         }         #endregion     } }

 

 

算法速成系列至此就全部结束了，公司给我们的算法培训也于上周五结束，呵呵，赶一下同步。最后希望大家能对算法重视起来，

学好算法，终身收益。