算法系列15天速成——第十五天 图【下】（大结局）

  今天是大结局，说下“图”的最后一点东西，“最小生成树“和”最短路径“。

 

一： 最小生成树

1. 概念

    首先看如下图，不知道大家能总结点什么。

    对于一个连通图G，如果其全部顶点和一部分边构成一个子图G1，当G1满足：

       ① 刚好将图中所有顶点连通。②顶点不存在回路。则称G1就是G的“生成树”。

           其实一句话总结就是：生成树是将原图的全部顶点以最小的边连通的子图，这不，如下的连通图可以得到下面的两个生成树。

       ② 对于一个带权的连通图，当生成的树不同，各边上的权值总和也不同，如果某个生成树的权值最小，则它就是“最小生成树”。

     

2. 场景

      实际应用中“最小生成树”还是蛮有实际价值的，教科书上都有这么一句话，若用图来表示一个交通系统，每一个顶点代表一个城市，

  边代表两个城市之间的距离，当有n个城市时，可能会有n(n-1)/2条边，那么怎么选择(n-1)条边来使城市之间的总距离最小，其实它

  的抽象模型就是求“最小生成树”的问题。

 

3. prim算法

    当然如何求“最小生成树”问题，前人都已经给我们总结好了，我们只要照葫芦画瓢就是了，

    第一步：我们建立集合“V,U"，将图中的所有顶点全部灌到V集合中，U集合初始为空。

    第二步： 我们将V1放入U集合中并将V1顶点标记为已访问。此时：U（V1）。

    第三步： 我们寻找V1的邻接点（V2,V3,V5)，权值中发现(V1,V2)之间的权值最小，此时我们将V2放入U集合中并标记V2为已访问，

                此时为U（V1，V2）。

    第四步： 我们找U集合中的V1和V2的邻接边，一阵痉挛后，发现（V1，V5）的权值最小，此时将V5加入到U集合并标记为已访问，此时

                 U的集合元素为（V1，V2，V5）。

    第五步：此时我们以（V1，V2，V5）为基准向四周寻找最小权值的邻接边，发现（V5，V4）的权值最小，此时将V4加入到U集合并标记

                 为已访问，此时U的集合元素为（V1，V2，V5，V4）。

    第六步： 跟第五步形式一样，找到了（V1，V3）的权值最小，将V3加入到U集合中并标记为已访问，最终U的元素为（V1，V2，V5，V4，V3），

                最终发现顶点全部被访问，最小生成树就此诞生。

 1 #region prim算法获取最小生成树 2         /// <summary> 3 /// prim算法获取最小生成树 4 /// </summary> 5 /// <param name="graph"></param> 6         public void Prim(MatrixGraph graph, out int sum) 7         { 8             //已访问过的标志 9             int used = 0;10 11             //非邻接顶点标志12             int noadj = -1;13 14             //定义一个输出总权值的变量15             sum = 0;16 17             //临时数组，用于保存邻接点的权值18             int[] weight = new int[graph.vertexNum];19 20             //临时数组，用于保存顶点信息21             int[] tempvertex = new int[graph.vertexNum];22 23             //取出邻接矩阵的第一行数据，也就是取出第一个顶点并将权和边信息保存于临时数据中24             for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++)25             {26                 //保存于邻接点之间的权值27                 weight[i] = graph.edges[0, i];28 29                 //等于0则说明V1与该邻接点没有边30                 if (weight[i] == short.MaxValue)31                     tempvertex[i] = noadj;32                 else33                     tempvertex[i] = int.Parse(graph.vertex[0]);34             }35 36             //从集合V中取出V1节点，只需要将此节点设置为已访问过，weight为0集合37             var index = tempvertex[0] = used;38             var min = weight[0] = short.MaxValue;39 40             //在V的邻接点中找权值最小的节点41             for (int i = 1; i < graph.vertexNum; i++)42             {43                 index = i;44                 min = short.MaxValue;45 46                 for (int j = 1; j < graph.vertexNum; j++)47                 {48                     //用于找出当前节点的邻接点中权值最小的未访问点49                     if (weight[j] < min && tempvertex[j] != 0)50                     {51                         min = weight[j];52                         index = j;53                     }54                 }55                 //累加权值56                 sum += min;57 58                 Console.Write("({0},{1})  ", tempvertex[index], graph.vertex[index]);59 60                 //将取得的最小节点标识为已访问61                 weight[index] = short.MaxValue;62                 tempvertex[index] = 0;63 64                 //从最新的节点出发，将此节点的weight比较赋值65                 for (int j = 0; j < graph.vertexNum; j++)66                 {67                     //已当前节点为出发点，重新选择最小边68                     if (graph.edges[index, j] < weight[j] && tempvertex[j] != used)69                     {70                         weight[j] = graph.edges[index, j];71 72                         //这里做的目的将较短的边覆盖点上一个节点的邻接点中的较长的边73                         tempvertex[j] = int.Parse(graph.vertex[index]);74                     }75                 }76             }77         }78         #endregion

二： 最短路径

1.   概念

        求最短路径问题其实也是非常有实用价值的，映射到交通系统图中，就是求两个城市间的最短路径问题，还是看这张图，我们可以很容易的看出比如

     V1到图中各顶点的最短路径。

      ① V1  ->  V2              直达，     权为2。

      ② V1  ->  V3              直达        权为3。

      ③ V1->V5->V4           中转       权为3+2=5。

      ④ V1  ->  V5               直达      权为3。

  、

2.  Dijkstra算法

      我们的学习需要站在巨人的肩膀上，那么对于现实中非常复杂的问题，我们肯定不能用肉眼看出来，而是根据一定的算法推导出来的。

  Dijkstra思想遵循 “走一步，看一步”的原则。

     第一步： 我们需要一个集合U，然后将V1放入U集合中，既然走了一步，我们就要看一步，就是比较一下V1的邻接点（V2，V3，V5），

                 发现（V1，V2）的权值最小，此时我们将V2放入U集合中，表示我们已经找到了V1到V2的最短路径。

     第二步：然后将V2做中间点，继续向前寻找权值最小的邻接点，发现只有V4可以连通，此时修改V4的权值为（V1，V2)+(V2，V4)=6。

                此时我们就要看一步，发现V1到（V3，V4，V5）中权值最小的是（V1，V5），此时将V5放入U集合中，表示我们已经找到了

                V1到V5的最短路径。

     第三步：然后将V5做中间点，继续向前寻找权值最小的邻接点，发现能连通的有V3，V4，当我们正想修该V3的权值时发现（V1，V3）的权值

                小于（V1->V5->V3),此时我们就不修改，将V3放入U集合中，最后我们找到了V1到V3的最短路径。

     第四步：因为V5还没有走完，所以继续用V5做中间点，此时只能连通(V5,V4),当要修改权值的时候，发现原来的V4权值为(V1,V2)+(V2,V4),而

                现在的权值为5，小于先前的6，此时更改原先的权值变为5，将V4放入集合中，最后我们找到了V1到V4的最短路径。

 

 1 #region dijkstra求出最短路径 2         /// <summary> 3 /// dijkstra求出最短路径 4 /// </summary> 5 /// <param name="g"></param> 6         public void Dijkstra(MatrixGraph g) 7         { 8             int[] weight = new int[g.vertexNum]; 9 10             int[] path = new int[g.vertexNum];11 12             int[] tempvertex = new int[g.vertexNum];13 14             Console.WriteLine("\n请输入源点的编号：");15 16             //让用户输入要遍历的起始点17             int vertex = int.Parse(Console.ReadLine()) - 1;18 19             for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)20             {21                 //初始赋权值22                 weight[i] = g.edges[vertex, i];23 24                 if (weight[i] < short.MaxValue && weight[i] > 0)25                     path[i] = vertex;26 27                 tempvertex[i] = 0;28             }29 30             tempvertex[vertex] = 1;31             weight[vertex] = 0;32 33             for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)34             {35                 int min = short.MaxValue;36 37                 int index = vertex;38 39                 for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++)40                 {41                     //顶点的权值中找出最小的42                     if (tempvertex[j] == 0 && weight[j] < min)43                     {44                         min = weight[j];45                         index = j;46                     }47                 }48 49                 tempvertex[index] = 1;50 51                 //以当前的index作为中间点，找出最小的权值52                 for (int j = 0; j < g.vertexNum; j++)53                 {54                     if (tempvertex[j] == 0 && weight[index] + g.edges[index, j] < weight[j])55                     {56                         weight[j] = weight[index] + g.edges[index, j];57                         path[j] = index;58                     }59                 }60             }61 62             Console.WriteLine("\n顶点{0}到各顶点的最短路径为：（终点 < 源点） " + g.vertex[vertex]);63 64             //最后输出65             for (int i = 0; i < g.vertexNum; i++)66             {67                 if (tempvertex[i] == 1)68                 {69                     var index = i;70 71                     while (index != vertex)72                     {73                         var j = index;74                         Console.Write("{0} < ", g.vertex[index]);75                         index = path[index];76                     }77                     Console.WriteLine("{0}\n", g.vertex[index]);78                 }79                 else80                 {81                     Console.WriteLine("{0} <- {1}: 无路径\n", g.vertex[i], g.vertex[vertex]);82                 }83             }84         }85         #endregion

最后上一下总的运行代码

View Code

 

最后希望大家能对算法重视起来，

学好算法，终身收益。