素数性测试（Robin-Miller算法）

算法分类：

随机算法

算法原理：

输入：一个大于3的奇整数n和一个大于等于1的安全参数t（用于确定测试轮数）。

输出：返回n是否是素数（概率意义上的，一般误判概率小于((1/2))⁸⁰)即可)。

1. 将n-1表示成2^sr

2. 对i从1到t做循环做以下操作：

   1. 选择一个随机整数a（2 ≤ a ≤ n−2）

   2. 计算y ← a^r bmod n

   3. 如果y≠1并且y≠ n−1循环做下面的操作，否则转3：

      1. j ← 1

      2. 当j ≤ s−1并且y ≠ n−1循环做下面操作，否则跳到（iv.）

      3. 计算y ← y² bmod n，如果y = 1返回“合数”，否则j ← j + 1

      4. 如果y ≠ n−1则返回“合数”

3. 返回“素数”

代码实现：

#include <iostream>using namespace std;/*===================================================== * Fermat定理： * 如果n是素数，那么对于所有的a<>0(mod n)有 * a^(n-1) mod n = 1 *===================================================== */// 输出a^m(mod n)int expmod(int a, int m, int n) {int c = 1;while (m > 0) {c = (c*c)%n;if (m%2 == 1)c = (c*a)%n;m /= 2;}return c;};/*===================================================== * 输入：正奇数>=5 * 输出：如果n是素数，则返回prime；否则返回composite * 出错概率： * 对于4~2000的所有合数，仅对341,561,645,1105,1387,1729 * 返回素数，此外，小于100,000的数中，仅有78个测试错误 * 最大的是93961 = 7*31*433 *===================================================== */bool primeTest1(int n) {if (expmod(2, n-1, n) == 1) return true;elsereturn false;};/*===================================================== * Carmicheal数：  * 它对于相对于n互素的正整数a，满足Fermat定理 * Carmicheal数相当少，对于10^8内仅有255个。 * 当一个合数n对于底a满足Fermat定理时 * n被称为底a的伪素数，于是primeTest1在n是素数或者 * 是底2的伪素数时返回素数 *===================================================== *//*===================================================== * 改进方法： * 在2~n-2之间随机地选择底，这产生了算法primeTest2 *===================================================== */bool primeTest2(int n) {// a是2~n-2之间的随机数int a = rand()%(n-3) + 2;if (expmod(a, n-1, n) == 1)return true;elsereturn false;};/*===================================================== * 如果n不是Carmicheal数，则算法PTEST2将测出n是合数 * 的概率至少是1/2，换句话说primeTest2出错的概率最多 * 是1/2。于是，通过反复测试k次，出错的概率最多是2^(-k)  *===================================================== *//*===================================================== * 设n为大于5的奇数，写为n-1=(2^q)*m，则由费马定理， * 序列a^m(mod n), a^(2m)(mod n), a^(4m)(mod n) * ... a^((2^q)*m)(mod n) 必定以1结束，而且在1出现之前 * 的值必定是n-1，这是因为当n是素数时，x^2=1(mod n) * 的唯一解是x=1或x=-1 *===================================================== */// t为循环检测次数bool primalityTest(int n, int t) {if (n == 2 || n == 3) return true;if (n%2 == 0)return false;int q = 0, m = n - 1;while (m%2 == 0) {++ q;m /= 2;}for (int i = 0; i < t; ++ i) {int a = rand()%(n-2) + 2;int x = expmod(a, m, n);int j;if (x == 1)continue;for (j = 0; j < q && x != n-1; ++ j) {x = (x*x)%n;}if (j >= q)return false;}return true;};int main(){while(1) {int n;scanf("%d",&n);if(primalityTest(n,10))printf("n is a prime\n");else printf("n is not a prime\n");}}