幻方算法(Magic Square)学习笔记
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一、幻方按照阶数可分成了三类,即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
二、奇数阶幻方(劳伯法)
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是:
把1(或最小的数)放在第一行正中;按以下规律排列剩下的(n×n-1)个数:
(1)每一个数放在前一个数的右上一格;
(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行,仍然要放在右一列;
(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列,仍然要放在上一行;
(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列,那么就把它放在底行且最左列;
(5)如果这个数所要放的格已经有数填入,那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例,用该填法获得的5阶幻方:
17
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1
8
15
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5
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4
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10
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3
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18
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2
9
二、双偶数阶幻方(海尔法)
所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方,即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义:就是在n阶幻方中,如果两个数的和等于幻方中最大的数与1的和(即n×n+1),我们称它们为一对互补数。如在三阶幻方中,每一对和为10的数,是一对互补数 ;在四阶幻方中,每一对和为17的数,是一对互补数。
双偶数阶幻方最经典的填法是海尔法。填写的方法是:
以8阶幻方为例:
(1)先把数字按顺序填。然后,按4×4把它分割成4块(如图)
1
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3
4
5
6
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8
9
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(2)每个小方阵对角线上的数字(如左上角小方阵部分),换成和它互补的数。
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2
3
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10
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5
4
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1
三、单偶数阶幻方(斯特拉兹法)
所谓单偶阶幻方就是当n不可以被4整除时的偶阶幻方,即4K+2阶幻方。如(n=6,10,14……)的幻方。
单偶数阶幻方最经典的填法是斯特拉兹法。填写的方法是:
以10阶幻方为例。这时,k=2。
(1)把魔方阵分为A,B,C,D四个象限,这样每一个象限肯定是奇数阶。用罗伯法,依次在A象限,D象限,B象限,C象限按奇数阶幻方的填法填数。
(2)在A象限的中间行、中间格开始,按自左向右的方向,标出k格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格,和C象限相对位置上的数互换位置。
(3)在B象限所有行的中间格,自右向左,标出k-1格。(注:6阶幻方由于k-1=0,所以不用再作B、D象限的数据交换),将这些格,和D象限相对位置上的数互换位置。
四、源代码如下,已加详细注释
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