勒贝格测度（转）

数学上，勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予一个体积的集合被称为勒贝格可测；勒贝格可测集A的体积或者说测度记作λ(A)。一个值为∞的勒贝格测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rⁿ的所有子集也不都是勒贝格可测的。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。

• 如果A是一个区间[a, b]， 那么其勒贝格测度是区间长度b−a。 开区间 (a, b)的长度与闭区间一样，因为两集合的差是零测集。
• 如果 A 是区间 [a, b] 和 [c, d]的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积 (b−a)(d−c)。
• 康托尔集是一个勒贝格测度为零的不可数集的例子。

Rⁿ 上的勒贝格测度有如下的性质

1. 如果 A 是区间 I₁ × I₂ × ... × I_n 的 笛卡尔积 ，那么A 是勒贝格可测的，并且  其中  表示区间 I的长度。
2. 如果 A 是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集的并，那么A 也是勒贝格可测的，并且λ(A) 就是这些可测集的测度的和（或无穷级数的和）。
3. 如果A 勒贝格可测的，那么它的补集（相对于Rⁿ ）也是可测的。
4. 对于每个勒贝格可测集A，λ(A) ≥ 0 。
5. 如果A与B是勒贝格可测的，且A是B的子集，那么λ(A) ≤ λ(B)。 (由 2, 3 及 4可得。)
6. 可数多个是勒贝格可测集的交或者并仍然是勒贝格可测的。 (由2，3 可得)。
7. 如果A是一个开集或闭集，且是Rⁿ(甚至Borel集，见度量空间，待补)的子集，那么 A 是勒贝格可测的。
8. 如果A是一个勒贝格可测集，并有 λ(A) = 0 (空集)，则 A 的任何一个子集也是空集。
9. 如果A 是勒贝格可测的，x是Rⁿ 中的一个元素，A关于x的平移（定义为 A + x = {a + x : a ∈ A}）也是勒贝格可测的，并且测度等于 A.
10. 如果A是勒贝格可测的，，则关于的扩张（定义为）也是勒贝格可测的，其测度为。
11. 更广泛地说，设 T是一个线性变换 ，A是一个Rⁿ 的勒贝格可测子集，则 T(A)也是勒贝格可测的，其测度为。
12. 如果 A是Rⁿ 的勒贝格可测子集，f 是一个 A到Rⁿ 上的连续单射函数，则 f(A)也是勒贝格可测的。

简要地说，Rⁿ的勒贝格可测子集组成一个含所有区间及其笛卡尔积的σ代数，且λ是其上唯一的完备的、平移不变的、满足的测度。

勒贝格测度是σ有限测度。

勒贝格测度的现代结构，基于外测度，是卡拉特奥多里发明的。

固定。中的盒子是形如的集合，其中。这个盒子的体积定义为

对于任何Rⁿ的子集A，我们可以定义它的外测度：

是可数个盒子的集合，它的并集覆盖了

然后定义集合A为勒贝格可测的，如果对于所有集合，都有：

这些勒贝格可测的集合形成了一个σ代数。勒贝格测度定义为λ(A) = λ^*(A)对于任何勒贝格可测的集合A。

根据维塔利定理，存在实数R的一个勒贝格不可测的子集。如果A是的任何测度为正数的子集，那么A便有勒贝格不可测的子集。