一般集合的外测度、内测度

　正如三角函数中什么积化和差、和差化积、诱导公式、倍角公式等等，都源于cos(a+b)这条公式，整个测度论，不管是约当测度、Ｌ测度还是Ｂ测度，都源于开集的测度。开集测度是一切测度的参照物，有了开集的测度，如同道生一，一生二，二生三，三生万物。

　　因此，开集的测度并没有依靠其他集合的测度进行定义，很多理论说破了一文不值，问题是怎么说才破。窃以为，开集的测度就是直接拿皮尺对开集进行量度。而开集的构造可以认为由有限或者无限个构成区间构成，所谓构成区间可以理解为一个不可再分的开集，各个构成区间是不交的。因此，如同曹冲称象一般，将各个构成区间量出其长度，再一求和，就得到了开集的总长度，这就是开集的测度。

　　对于测度论中，我一直将可数可加性作为最重要的性质。开集的测度具有可数可加性和次可数可加性。

 

　　１）可数可加性：

　　设｛Ｇn}中的元素（集合）互不相交，则：m(U(Gn))=Σm(Gn)

　　可数可加性成立了，有限可加性也就成立了。

 

　　2）此可数可加性：

　　设｛Ｇn}中的元素（集合）有可能相交，则：m(U(Gn))≤Σm(Gn)

 有了开集的测度，如同一切理论体系有了公理体系一样，可以拿着这最块最基本的板砖去建大厦了。对于闭集，回顾其构成区间，也不是直接用闭区间进行构造，而是统一为开区间进行构造。闭集的测度就不再是拿皮尺直接去量她了，而是借助一个外物——开集去量度她。

　　那么这个开集又如何找呢。先随便找一个开区间，只要比这个闭集大就行了。将这个开区间记为Ｉ=(a,b)，将要量度的闭集记为F，必须保证F包含于I，那么闭集的定义如下：

　　

　　m(F)=b-a-m(C_IF)

　　于是，上面的右边可以理解为一个完整的开集减去零七八碎的小开区间，闭集的测度可以归结为开集的测度。

　　注意：虽然闭集的测度是借助开集的测度而定义，但是，这由是她真实的尺度，也就是说，闭集的真正“长度”和她所借助的开集的“长度”之间即使在微观世界里也是完全一样的，不存在一个ε的极小差，也无须借助极限来定义。这是因为F=I-C_IF。

　　闭集也有可数可加性和次可数可加性性质，对此不作证明，只谈谈个人的理解。闭集的测度可以理解为可数或有限个互不相交的小闭区间所得。每个小闭区间［ai,bi]与（ai,bi)具有相同的测度，因此闭集的测度其实也等于各个对应的(ai,bi)之和。而对于{Fi}中，各个闭集互不相交，由于开集的测度满足可数可加性，于是闭集也就满足可数可加性了。随之也得到有限可加性和次可数可加性。这是理解的办法。

 

前面解决了直接拿皮尺丈量开、闭集的问题。但是对于一般集合，如半开半闭集，尚未能量出其尺寸。因此，引出了入下一般集合测度的定义：

　　m^*(E)=inf{G|E包含于G且G为开集} 此乃外测度
　　m_*(E)=sup(F|E包含F且F为闭集｝ 此乃内测度

　　此时，测量一个集合不能直接拿皮尺了，而是假借外物。这个比较好理解，从外面测她，当然用一个最小的集合来套它，从内部测她，当然用一个最大的集合来顶死她。无论内外力求严丝密缝。
　　以上定义除了对半开半闭集合适用，对前面的开集、闭集同样适用。以开集为例，从外面找一个开集来套她，没有什么比她自己更合身了，所以，外测度自然就是她自己。而从里面找一闭集套顶它，有定理证明里面闭集的最大者的测度与其测度相等，于是，开集的外测度=内测度=自身的测度。同理，闭集的内外测度=自身的测度。
　　对于一般集合，以外测为例，在以上的定义中，是用一个比她大的开集来测量她，而在比她大的集合中取其最小值，所以这是一个极限值。而极限值与真正值往往差了一个无限小ε。因此内测和外测就差了一个无限小ε，这个无限小ε在积累的过程中如果不产生质变，则保持无限小，可以视为0。于是，决大部分集合都是内测=外测的。
　　但是，由于理论上无限小ε的存在，所以自然有：
　　对于任何集合E，有m^*(E)≤m^*(E)

　　次可数可加性：
　　集合的外测度满足次可数可加性，注意：不满足可数可加性
　　m^*(UEn)≤∑m^*(En)
　　我是这样记忆的，由于上面UEn与包含她的开集的测度查了一个无限小ε，而右边是累加了n个无限小ε，自然左边小于等于右边。注意：这仅仅是记忆法，完全不是证明。用此法也就记住了下面：

 

　　集合的内测度正好与此相反：
　　m_*(UEn)≤∑m_*(En)

 

　　到了此处，产生了一些困惑，内外测度的产生很显然表明了对于一般集合难以直接定义其尺度，因此才要么从外面用一个开集来罩她，要么用闭集来顶她，如果我们从直观的角度去理解集合，那是必然有其尺寸的。如果有，那么无论内测还是外测，必然会有一个无限小的差。因此内外测度是不一样的，内外测度才有存在的意义，当内外测度相等时，其实是极限相等，集合才算可测。然而书本上的理论指明现在还难以找到一种测度，令一切集合均可测。这实在令人匪仪所思，微观的世界居然如此的艰深晦涩，所谓一花一世界一叶一如来，估计这已经接近柏拉图所形容的理念世界，无一藏中无一物，有花有树有楼台。