图的基本算法（一、图的表示）

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搜索一个图是有序地沿着图的边访问所有顶点

G(V, E), V用来表示图中的顶点， E用来表示图中的边；

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当图为稀疏图（E 远小于 V^2）时用邻接表表示法比较紧凑；

若是稠密图时，则通常用邻接矩阵； 亦或者是在需要很快的判断出两个顶点是否在链接边时，通常也用邻接矩阵；

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如果G 是一个有向图，则所有邻接表的长度之和为E, 如果是无向图，则为2E;

无论是有向抑或是无向，邻接表所需的存储空间为Θ（V + E）;

 

一个图的邻接矩阵表示需要占用Θ（V^2）的存储空间，与图的边数无关；

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练习：给定一个有向图的邻接表表示，计算图中每个顶点的出度与入度分别都需要Θ（E + V）的时间；

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练习：有向图G = (V, E),其转置为G^T = (V, E^T)，G^T 就是将 G中所有的边反向后形成的图； G 到G^T 的有效算法的时间为？

如果表示该图的是邻接矩阵，则需要遍历完整个矩阵即可，即需要时间为： Θ（V^2）；将原本的行改为列

如果表示该图的是邻接表，则也是遍历完即可，即需要时间为：Θ（V + E）;当在某个顶点a的链表中发现有顶点b，则在新的邻接表中的b链表中加入a即可；

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练习：有向图G = （V, E）的平方是图 G^2 = (V, E^2),亦即，如果图中顶点U 和 W 之间存在着一条恰好包含两条边的路径时，则G^2 必包含该边（U , W），请针对图G 的两种表示方法，计算能算出图G^2的表示方法是时间复杂度？

如果是用邻接矩阵A表示图G， 则可以通过计算A^2 即可得到 G^2，即通过“与”和“或”的操作即可完成，所需的计算步奏为n^3(因为计算一个点时，需要做n 次的乘法与 n 次的加法，而一共需要计算n^2个点，所以共需Θ（n^2(n + n) = Θ(n^3)）),但是如果用到了“Strassen algorithm”算法，可以将时间复杂度降为 O(n^{log 7}) = O(n^2.81)

如果是用邻接表A表示图G，则我们先假设有两个邻接表A 与 B， 对于A 中的每个顶点的链表中的每个节点C用在表B中C顶点的链表表示，并将之融合为一体，因为链表的长度最长为V , 所以，每次的融合的时间复杂度为：Θ（V），因为有向图邻接表的存储空间为Θ（E + V）, 故所以最终的时间复杂度为：Θ((E + V)* V)=Θ（EV + V^2）

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 练习：当采用邻接矩阵表示时，很多算法的复杂度为Θ(v^2),试证明可以在Θ（V）内确定是否包含一个“通用的汇”，即其入度为V-1，出度为0？

例如在矩阵A 的某一行中，有六个0，四个1，（先假设不存在自己到自己）则我们可以接下来只去判断那4个1所对应的行是否全为0即可；

**********算法思想是：对于两个顶点U,V，如果存在着边U->V，则U不符合，若没有这样的边则V不符合；例如：1、2、3、4、5五个顶点，从1开始，如果存在着1->2 的边则1不符合，否则2不符合，故能排除一个顶点；接下来（假设排除了1），我们考虑是否有边2->3的存在，又可以淘汰一个，以此类推即可排除是否存在这样的点了；所以共需Θ(V)时间；

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