图的 Prim算法和Dijkstra算法

用矩阵形式实现图的两个算法

1） 无向图中，使用Prim算法，构建最小生成树

2） 有向图中，使用DijKstra算法，得到单源最短路径

首先构建一下图，这里是用矩阵实现的

Graph类简述：

numVertex 是图中当前的节点数

numEdge 是图中当前的边数

maxNumVertex 表示未自增长前的矩阵中节点最大值

maxNumEdge 表示未自增长前的矩阵中边最大值

 

使用一维数组NodeList[]来存储节点信息

使用一维数组AdjMatrix[]来存放邻接表 AdjMatrix[I * maxNumVertex + j] 表示i号节点到j节点的有向路径的长度如下图

设MAX为9999 初始化时两点表示不可达

设MAX_EDGETYPE为9999 表示边的无穷大 也表示不可达

主要代码

Graph.hpp

#include <iostream>using namespace std;#define DEFAULT_VERTEX_NUM 5#define MAX 99999#define MAX_EDGETYPE 99999template<class VertexType,class EdgeType>class Graph{VertexType *NodeList;  //保存顶点数据的一位数组EdgeType *AdjMatrix;   //保存邻接矩阵的一维数组，邻接矩阵                       //AdjMatrix[i*NumVertex + j] ,表示                       //i顶点到j顶点方向，数值表示路径长度int currentNode; //指着当前的节点int numEdge;  //图当前的边数int maxNumEdge; //图的最大边数int numVertex;  //图当前的顶点数int maxNumVertex; //图最大的顶点数public:Graph(int );~Graph();int GetNumVertex(){return numVertex;}VertexType InsertVertex(const VertexType& ); //插入一个节点int RemoveVertex(const VertexType& ); //删除一个节点EdgeType InsertEdge(int i,int j,EdgeType weight); //从i向j插入一条权重为weight的边int RemoveEdge(int i ,int j); //移除i向j的边void ExpandSize();    //用于动态自增长，节点数翻倍、同时边数相应翻两倍/*传入一个初始的的顶点，进行Prim算法来构建最小生成树构建方式用一维数组表示 如PrimTree[i*numVertex + j], *由于Graph类设计的时候考虑到了有向图的情况，但是在本算法中并不使用有向图，所以上面的PrimTree[i*numVertex + j] *也等同于PrimTree[j*numVertex + i]. 本函数返回的就是这样的一个数组*/EdgeType *Prim(VertexType startVertexValue);EdgeType *Dijkstra(VertexType startVertexValue);void Cout();};//测试输出template<class VertexType,class EdgeType>void Graph<VertexType, EdgeType>::Cout(){cout << "NodeList 数组索引：\n";cout <<"       i\\j";for(int i = 0;i < numVertex;i++)cout << "\t" << i << " ";int cntLine = 0; //列计数int cntRow = 0; //行计数//cout << "\n邻接矩阵数据：\n";cout << endl;for(int i = 0;i < maxNumEdge;i++){if( i % maxNumVertex == 0 && cntRow < numVertex )cout << "\t" << cntRow++;if(cntRow == numVertex && cntLine == numVertex )break;if(cntLine++ < numVertex && cntRow <= numVertex)cout << "\t" << AdjMatrix[i] ;if( (i + 1) % maxNumVertex == 0){ //每行遍历结束换行cout << endl;cntLine = 0;}}cout << endl;cout << "各节点的值： \n";for(int i = 0;i < numVertex;i++)cout << NodeList[i] << " ";cout << "\n\n";}//动态自增长template<class VertexType,class EdgeType>void Graph<VertexType, EdgeType>::ExpandSize(){//复制所有节点数组到扩容后的NodeListVertexType *tempNodeList = NodeList;int originMaxNumVertex = maxNumVertex;maxNumVertex <<= 1;NodeList = new VertexType[maxNumVertex];for(int i = 0;i < (maxNumVertex >> 1);i++)NodeList[i] = tempNodeList[i];delete []tempNodeList;//复制邻接边数组AdjMatrixEdgeType *tempAdjMatrix = AdjMatrix;//int originMaxNumEdge = maxNumEdge;maxNumEdge = maxNumVertex * maxNumVertex;AdjMatrix = new EdgeType[maxNumEdge];for(int i = 0;i < originMaxNumVertex;i++)for(int j = 0;j < originMaxNumVertex;j++)AdjMatrix[maxNumVertex * i + j] = tempAdjMatrix[originMaxNumVertex * i + j];//未知变量都赋为MAX表示不可达,修改对角线元素为0for(int i = 0;i < maxNumVertex;i++)for(int j = 0;j < maxNumVertex;j++){if(!(i < originMaxNumVertex && j < originMaxNumVertex)){AdjMatrix[maxNumVertex * i + j] = MAX;}}for(int i = originMaxNumVertex;i < maxNumVertex;i++){AdjMatrix[maxNumVertex * i + i] = 0;}delete []tempAdjMatrix;}template<class VertexType,class EdgeType>VertexType Graph<VertexType, EdgeType>::InsertVertex(const VertexType& newVertexValue){if(numVertex == maxNumVertex)ExpandSize();NodeList[numVertex++] = newVertexValue;return newVertexValue;}template<class VertexType,class EdgeType>int Graph<VertexType, EdgeType>::RemoveVertex(const VertexType& vertexValue){if(numVertex == 0)return -1;  //没有找到else{int pos = 0;for(;pos < numVertex;pos++){if(NodeList[pos] == vertexValue)break;}if(pos == numVertex)return -1;  //没有找到for(int i = pos;i < numVertex;i++){NodeList[i] = NodeList[i + 1];}for(int i = 0;i < maxNumVertex - 1;i++)for(int j = 0;j < maxNumVertex - 1;j++){int x = j >= pos ? j + 1 : j;int y = i >= pos ? i + 1 : i;AdjMatrix[maxNumVertex * i + j] = AdjMatrix[maxNumVertex * y + x];}return --numVertex;}}template<class VertexType,class EdgeType>EdgeType Graph<VertexType, EdgeType>::InsertEdge(int i,int j,EdgeType weight){if(i < maxNumVertex && j < maxNumVertex && i != j)AdjMatrix[maxNumVertex * i + j] = weight;return weight;}template<class VertexType,class EdgeType>int Graph<VertexType, EdgeType>::RemoveEdge(int i,int j){if(i < maxNumVertex && j < maxNumVertex && i != j){AdjMatrix[maxNumVertex * i + j] = MAX;numEdge--;return numEdge;}elsereturn -1;}template<class VertexType,class EdgeType>Graph<VertexType,EdgeType>::Graph(int maxVertexSize = DEFAULT_VERTEX_NUM){numVertex = 0;numEdge = 0;currentNode = 0;maxNumVertex = maxVertexSize > DEFAULT_VERTEX_NUM ? maxVertexSize : DEFAULT_VERTEX_NUM;maxNumEdge = maxNumVertex * maxNumVertex;AdjMatrix = new EdgeType[maxNumEdge];NodeList = new VertexType[maxNumVertex];// 对角线顶点初始化为0,非对角线初始为MAX表示不可达for(int i = 0;i < maxNumEdge;i++)AdjMatrix[i] = MAX;for(int i = 0;i < maxNumVertex;i++)AdjMatrix[i + maxNumVertex * i] = 0;}template<class VertexType,class EdgeType>Graph<VertexType,EdgeType>::~Graph(){delete []AdjMatrix;delete []NodeList;}template<class VertexType,class EdgeType>EdgeType* Graph<VertexType,EdgeType>::Prim(VertexType startVertexValue){//初始化PrimTree所有点之间都不可达EdgeType *PrimTree = new EdgeType[numVertex * numVertex];for(int i = 0;i < numVertex;i++)for(int j = 0;j < numVertex;j++){PrimTree[i * numVertex + j] = MAX_EDGETYPE;}int startPos = -1;for(int i = 0;i < numVertex;i++){if(NodeList[i] == startVertexValue){startPos = i;break;}}if(startPos == -1) //如果没有找到，就返回NULLreturn NULL;//isChosen数组记录顶点i是否被取出bool *isChosen = new bool[numVertex];for(int i = 0;i < numVertex;i++)isChosen[i] = false;//选出指定的头结点,放入顶点集U,startPos是起始顶点isChosen[startPos] = true;int lastPos = startPos; //作图的时候保留每一次绘制边的起始顶点int nextPos; //作图的时候保留每一次绘制边的终止顶点int newPos = startPos;  //新加入顶点的定位for(int i = 0;i < numVertex - 1;i++){ //把所有节点都包括进来，前提是一副连通图EdgeType min = MAX_EDGETYPE;/* 找到在U-V中仍未选入的第一个顶点 *每一次有新节点加入的时候都要定位在新节点，首先由到新节点的权值最小，选择下一个加入的顶点*/for(int j = 0;j < numVertex;j++){//如果某个顶点还未被选走if(!isChosen[j]){EdgeType weight = AdjMatrix[newPos * maxNumVertex + j] < AdjMatrix[j * maxNumVertex + newPos] ?AdjMatrix[newPos * maxNumVertex + j] : AdjMatrix[j * maxNumVertex + newPos];if(weight < min){min = weight;nextPos = j;}}}//还原min的初始值min = MAX_EDGETYPE;for(int j = 0;j < numVertex;j++){if(isChosen[j]){ //在已经被选走的顶点中找到距离上面未加入顶点权值最小的顶点,作为画边的起始顶点EdgeType weight = AdjMatrix[j * maxNumVertex + nextPos] < AdjMatrix[nextPos * maxNumVertex + j] ?AdjMatrix[j * maxNumVertex + nextPos] : AdjMatrix[nextPos * maxNumVertex + j];if(weight < min){min = weight;lastPos = j;}}}PrimTree[lastPos * numVertex + nextPos] = min;isChosen[nextPos] = true;newPos = nextPos;    //newPos 每次都指向刚刚新加入的顶点}return PrimTree;}template<class VertexType,class EdgeType>EdgeType* Graph<VertexType,EdgeType>::Dijkstra(VertexType startVertexValue){EdgeType *DijkstraPath = new EdgeType[numVertex];int startPos = -1;for(int i = 0;i < numVertex;i++){if(NodeList[i] == startVertexValue){startPos = i;break;}}if(startPos == -1) //如果没有找到，就返回NULLreturn NULL;//记录源点到各顶点的最短路径for(int i = 0;i < numVertex;i++)DijkstraPath[i] = AdjMatrix[startPos * maxNumVertex + i];//isChosen数组记录顶点i是否被取出bool *isChosen = new bool[numVertex];for(int i = 0;i < numVertex;i++)isChosen[i] = false;//初始顶点加入isChosen[startPos] = true;EdgeType min;int nextPos;//修改startPos有向可达的图DijkstraGraph[]for(int i = 0;i < numVertex - 1;i++){min  = MAX_EDGETYPE;for(int j = 0;j < numVertex;j++){EdgeType weight = AdjMatrix[startPos * maxNumVertex + j];if(!isChosen[j]){if(weight < min){min = weight;nextPos = j;}}}//取走nextPosisChosen[nextPos] = true;//每次有新的点加入就更新DijkstraGraph[]for(int j = 0;j < numVertex;j++){EdgeType D_startToNext = AdjMatrix[startPos * numVertex + nextPos];EdgeType D_NextToJ = AdjMatrix[nextPos * numVertex + j];EdgeType D_startToJ = AdjMatrix[startPos * numVertex + j];if(D_startToNext + D_NextToJ < D_startToJ)DijkstraPath[j] = D_startToNext + D_NextToJ;}}return DijkstraPath;}

一.  先做了基本成员函数的正确性验证：

1.插入和删除节点    

 InsertVertex(const EdgeType&) 和 RemoveVertex(const EdgeType &) 

2.     插入和删除边

InsertEdge(int i,int j,EdgeType weight) 和 RemoveEdge(int i,int j)

3     增加节点的时候动态增长

ExpandSize()

成功的在Insert的时候动态增长了原先的节点总数，和邻接表AdjMatrix的规模

测试代码：

int main(){Graph<int,int> g;for(int i = 0;i < 6;i++){g.InsertVertex(i);}g.InsertEdge(2,3,23);g.InsertEdge(2,4,24);g.InsertEdge(3,4,34);g.InsertEdge(1,5,15);g.Cout();g.RemoveVertex(2);g.Cout();return 0;}

得到输出：

1）成功的用InsertVertex() 和InsertEdge()函数插入了新的节点和新的边

2）删除了节点值为int 2 的点，并且对原先的两个数组进行了重购索引 2 之后的节点填充了NodeList[]和AdjMatrix[]中原来[2]的位置

二. Prim算法实现简述：

Prim函数代码:

template<class VertexType,class EdgeType>EdgeType* Graph<VertexType,EdgeType>::Prim(VertexType startVertexValue){//初始化PrimTree所有点之间都不可达EdgeType *PrimTree = new EdgeType[numVertex * numVertex];for(int i = 0;i < numVertex;i++)for(int j = 0;j < numVertex;j++){PrimTree[i * numVertex + j] = MAX_EDGETYPE;}int startPos = -1;for(int i = 0;i < numVertex;i++){if(NodeList[i] == startVertexValue){startPos = i;break;}}if(startPos == -1) //如果没有找到，就返回NULLreturn NULL;//isChosen数组记录顶点i是否被取出bool *isChosen = new bool[numVertex];for(int i = 0;i < numVertex;i++)isChosen[i] = false;//选出指定的头结点,放入顶点集U,startPos是起始顶点isChosen[startPos] = true;int lastPos = startPos; //作图的时候保留每一次绘制边的起始顶点int nextPos; //作图的时候保留每一次绘制边的终止顶点int newPos = startPos;  //新加入顶点的定位for(int i = 0;i < numVertex - 1;i++){ //把所有节点都包括进来，前提是一副连通图EdgeType min = MAX_EDGETYPE;/* 找到在U-V中仍未选入的第一个顶点 *每一次有新节点加入的时候都要定位在新节点，首先由到新节点的权值最小，选择下一个加入的顶点*/for(int j = 0;j < numVertex;j++){//如果某个顶点还未被选走if(!isChosen[j]){EdgeType weight = AdjMatrix[newPos * maxNumVertex + j] < AdjMatrix[j * maxNumVertex + newPos] ?AdjMatrix[newPos * maxNumVertex + j] : AdjMatrix[j * maxNumVertex + newPos];if(weight < min){min = weight;nextPos = j;}}}//还原min的初始值min = MAX_EDGETYPE;for(int j = 0;j < numVertex;j++){if(isChosen[j]){ //在已经被选走的顶点中找到距离上面未加入顶点权值最小的顶点,作为画边的起始顶点EdgeType weight = AdjMatrix[j * maxNumVertex + nextPos] < AdjMatrix[nextPos * maxNumVertex + j] ?AdjMatrix[j * maxNumVertex + nextPos] : AdjMatrix[nextPos * maxNumVertex + j];if(weight < min){min = weight;lastPos = j;}}}PrimTree[lastPos * numVertex + nextPos] = min;isChosen[nextPos] = true;newPos = nextPos;    //newPos 每次都指向刚刚新加入的顶点}return PrimTree;}

步骤：

1）由传入的顶点值参数找到顶点startPos

2）为了绘制边，需要lastPos记录边起始顶点，nextPos 记录边终止顶点

3）循环遍历所有顶点，直到所有顶点加入到已选取集V为止

4）每次选取待加入顶点时，未加入V的顶点都需要通过和前一次循环刚加入的新顶点newPos，以newPos为起始点进行两个节点之间的权值比较选取权值最小一条边，该边的终点的顶点索引就是nextPos

5)得到的nextPos还必须和已选取集V中所有顶点比较，选择在这之中权值最小的边，得到一个lastPos为要新加入的边起始点，nextPos为该边的终点，在PrimTree中绘制

PrimTree[lastPos * numVertex + nextPos] ,同时把nextPos加入已选取集V

原始图：

最小生成树的图：

测试代码main.cpp

int main(){Graph<int,int> g;for(int i = 0;i < 6;i++){g.InsertVertex(i);}//初始化图g.InsertEdge(0,1,3);g.InsertEdge(0,2,1);g.InsertEdge(1,2,2);g.InsertEdge(1,3,4);g.InsertEdge(2,3,2);g.InsertEdge(3,4,3);g.InsertEdge(3,5,4);g.InsertEdge(4,5,1);cout << "原始图：" << endl;g.Cout();cout << "\n\n最小生成树的图： " << endl;//Prim构建最小生成树int numVertex = g.GetNumVertex();int *PrimTree = g.Prim(0);for(int i = 0;i < numVertex;i++)cout << "\t" << i;cout << endl;for(int i = 0,cntLine = 0;i < numVertex;i++){cout << "" << cntLine++;for(int j = 0;j < numVertex;j++){cout << "\t" << PrimTree[i * numVertex + j];}cout << endl;}cout << endl;return 0;}

测试输出：（使用数组实现图，因为设计Graph类的时候考虑了有向性，但是在实现Prim算法的时候没有用到方向

所以在数组中AdjMatrix[i][j] 和 AdjMatrix[j][i] 二者是相同的，二选一即可，99999是MAX值表示不可达！

三. Dijkstra算法实现简述

Dijkstra代码：

template<class VertexType,class EdgeType>EdgeType* Graph<VertexType,EdgeType>::Dijkstra(VertexType startVertexValue){EdgeType *DijkstraPath = new EdgeType[numVertex];int startPos = -1;for(int i = 0;i < numVertex;i++){if(NodeList[i] == startVertexValue){startPos = i;break;}}if(startPos == -1) //如果没有找到，就返回NULLreturn NULL;//记录源点到各顶点的最短路径for(int i = 0;i < numVertex;i++)DijkstraPath[i] = AdjMatrix[startPos * maxNumVertex + i];//isChosen数组记录顶点i是否被取出bool *isChosen = new bool[numVertex];for(int i = 0;i < numVertex;i++)isChosen[i] = false;//初始顶点加入isChosen[startPos] = true;EdgeType min;int nextPos;//修改startPos有向可达的图DijkstraGraph[]for(int i = 0;i < numVertex - 1;i++){min  = MAX_EDGETYPE;for(int j = 0;j < numVertex;j++){EdgeType weight = AdjMatrix[startPos * maxNumVertex + j];if(!isChosen[j]){if(weight < min){min = weight;nextPos = j;}}}//取走nextPosisChosen[nextPos] = true;//每次有新的点加入就更新DijkstraGraph[]for(int j = 0;j < numVertex;j++){EdgeType D_startToNext = AdjMatrix[startPos * numVertex + nextPos];EdgeType D_NextToJ = AdjMatrix[nextPos * numVertex + j];EdgeType D_startToJ = AdjMatrix[startPos * numVertex + j];if(D_startToNext + D_NextToJ < D_startToJ)DijkstraPath[j] = D_startToNext + D_NextToJ;}}return DijkstraPath;}

步骤：

1）由传入的顶点值参数找到顶点startPos

2）先把顶点startPos可达的顶点和权值赋值给DijkstraPath[]

3）循环遍历所有顶点，直到所有顶点加入到已选取集V为止

4）每次选取待加入顶点时，未加入V的顶点都需要通过比较初始顶点到达新顶点的路径长度，选择最小路径长度的新顶点，作为下一个要处理的顶点nextPos

5)  得到的nextPos后，重新比较开始顶点到nextPos顶点：D_startToNext ;  nextPos顶点到j顶点：D_NextToJ   以及  开始顶点startPos到j D_startToJ的路径长度比较，如果由于新插入的点，即nextPos顶点使得起始顶点startPos到顶点j的路径变短，那么就重新对startPos到j的Dijkstra[j] 重新赋值。

原始图：

测试代码：

/******************Dijkstra算法测试********************************/int main(){Graph<int,int> g;for(int i = 0;i < 5;i++){g.InsertVertex(i);}//初始化图g.InsertEdge(0,1,10);g.InsertEdge(1,2,50);g.InsertEdge(3,2,20);g.InsertEdge(3,4,30);g.InsertEdge(0,3,30);g.InsertEdge(2,4,10);g.InsertEdge(0,4,100);cout << "原始有向图：" << endl;g.Cout();int startVertexValue = 0;int numVertex = g.GetNumVertex();int *DijkstraPath = g.Dijkstra(startVertexValue);cout << endl << "由startPos的Dijkstra有向可达路径图：\n";cout << "\t";for(int i = 0;i < numVertex;i++)cout << "\t" << i;cout << endl;cout << "\t" << startVertexValue;for(int i = 0;i < numVertex;i++)cout << "\t" <<DijkstraPath[i] ;return 0;}

测试输出：

上图中，0是起始顶点，即startPos 到顶点1 2 3 4 的路径长度分别是10 、 50、30、60