割点

题目：求一个连通图的割点，割点的定义是，如果除去此节点和与其相关的边，图不再连通，描述算法。

分析：

1. 最简单也是最直接的算法是，删除一个点然后判断连通性，如果删除此点，图不再连通，则此点是割点，反之不是割点（图的连通性一般通过深搜来判定，是否能一次搜索完 全部顶点）；

2. 通过深搜优先生成树来判定。从任一点出发深度优先遍历得到优先生成树，对于树中任一顶点Ｖ而言，其孩子节点为邻接点。由深度优先生成树可得出两类割点的特性：

     （１）若生成树的根有两棵或两棵以上的子树，则此根顶点必为割点。因为图中不存在连接不同子树顶点的边，若删除此节点，则树便成为森林；

     （２）若生成树中某个非叶子顶点V，其某棵子树的根和子树中的其他节点均没有指向V的祖先的回边，则V为割点。因为删去v，则其子树和图的其它部分被分割开来。

仍然利用深搜算法，只不过在这里定义visited[v]表示为深度优先搜索遍历图时访问顶点v的次序号，定义low[v]=Min{visited[v]，low[w]，visited[k]}，其中w是顶点v在深度优先生成树上的孩子节点；k是顶点v在深度优先生成树上由回边联结的祖先节点。

   割点判定条件：如果对于某个顶点v，存在孩子节点w且low[w]>=visited[v]，则该顶点v必为关节点。因为当w是v的孩子节点时，low[w]>=visited[v]，表明w及其子孙均无指向v的祖先的回边，那么当删除顶点v后，v的孩子节点将于其他节点被分割开来，从来形成新的连通分量。

#include <iostream>#include <string>using namespace std;#define MAX_VERTEX_NUM 13//邻接表存储结构typedef struct ArcNode{int adjvex;ArcNode *nextarc;}ArcNode;typedef struct VNode{string data;ArcNode* firstarc;}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM];typedef struct{AdjList vertices;int vexnum, arcnum;}ALGraph;//返回u在图中的位置int LocateVex(ALGraph G, string u){for(int i=0; i<G.vexnum; i++)if(G.vertices[i].data==u)return i;return -1;}//构造图void CreateDG(ALGraph &G){string v1, v2;int i, j, k;cout<<"请输入顶点数和边数：";cin>>G.vexnum>>G.arcnum;cout<<"请输入顶点：";for(i=0; i<G.vexnum; i++){cin>>G.vertices[i].data;G.vertices[i].firstarc=NULL;}cout<<"请输入边："<<endl;for(k=0; k<G.arcnum; k++){cin>>v1>>v2;i=LocateVex(G, v1);j=LocateVex(G, v2);//无向图ArcNode *arc=new ArcNode;arc->adjvex=j;arc->nextarc=G.vertices[i].firstarc;G.vertices[i].firstarc=arc;arc=new ArcNode;arc->adjvex=i;arc->nextarc=G.vertices[j].firstarc;G.vertices[j].firstarc=arc;}}//求割点int count ;int visited[MAX_VERTEX_NUM];int low[MAX_VERTEX_NUM];//从第v0个顶点出发深搜，查找并输出关节点（割点）void DFSArticul(ALGraph G, int v0){int min, w;ArcNode *p;visited[v0]=min=++count;//v0是第count个访问的顶点，min的初值为visited[v0]，即v0的访问次序for(p=G.vertices[v0].firstarc; p ; p=p->nextarc){w=p->adjvex;if(visited[w]==0)//w未曾访问，是v0的孩子{DFSArticul(G, w);//从第w个顶点出发深搜，查找并输出关节点（割点），返回前求得low[w]if(low[w]<min)//如果v0的孩子节点w的low[]小，说明孩子节点还与其他节点（祖先）相邻min=low[w];if(low[w]>=visited[v0])//v0的孩子节点w只与v0相连，则v0是关节点（割点）cout<<G.vertices[v0].data<<" ";}else if(visited[w]<min)//w已访问，则w是v0生成树上祖先，它的访问顺序必小于minmin=visited[w];}low[v0]=min;//low[v0]取三者最小值}void FindArticul(ALGraph G){int i, v;ArcNode *p;count=1;visited[0]=1;//从0号节点开始for(i=1; i<G.vexnum; i++)visited[i]=0;p=G.vertices[0].firstarc;v=p->adjvex;DFSArticul(G, v);if(count<G.vexnum){cout<<G.vertices[0].data<<" ";while(p->nextarc){p=p->nextarc;v=p->adjvex;if(visited[v]==0)DFSArticul(G, v);}}}void main(){ALGraph g;CreateDG(g);cout<<"割点如下: "<<endl;FindArticul(g);cout<<endl;}

这篇博客讲解的更为详细：http://blog.csdn.net/xinghongduo/article/details/6202646

黑书上给出了关于求点割集的算法，但是比较模糊，我查阅了网络上的相关资料，理解了求点割集的过程，写出如下求点割集的代码,并写了一些简单的证明.

 

割点集的定义：如果在连通图G中去掉某一点后图不连通，那么这个点即为G的割点，所有割点的集合即为点割集。

 

求点割集的方法：利用tarjan算法的思想，用数组dfn[v]存储DFS遍历到点v的时间,数组low[v]存储点v能追溯到最早的祖先节点。

如果对于点v来说有如下结论：

 

 

1.如果点v是DFS序列的根节点，则如果v有一个以上的孩子，则v是一个割点。

2.如果v不是DFS序列根节点，并且点v的任意后继u能追溯到最早的祖先节点low[u]>=dfn[v]，则v是一个割点。

 

 

证明1:

  

       假设DFS遍历的第一个节点v不是割点，那么则有low[v]=dfn[v]=1，继续对v的孩子节点u遍历，必然有low[u]>=dfn[v]，按照第二条性质，则v是割点，但我们已经假设v不是割点。这是由于v是DFS遍历的起始节点，在遍历序列中v没有祖先节点，v的所有后继节点能追溯到最早的祖先节点最多也就是v了，不可能比v再早了，因此必须把DFS遍历的第一个节点v单独考虑，那么怎么判断v是不是割点呢？

      例如上图，设v是DFS序列访问的第一个节点，对v的孩子节点u和u的所有孩子节点进行DFS遍历并标记为已经访问后，如果v的另一个孩子节点k没有被标记为已经访问，那么u和k之间一定不存在边，也就是说u和k之间的连通必然需要点v，因此如果v是DFS遍历的第一个节点，对v是否为割点的判断方法是：看v是不是有多个孩子，如果有则v是割点。

证明2:

      如果v不是DFS遍历的第一个节点，那么对于v的所有后继节点来说，如果v不是割点（也就是如果删掉点v，剩下的图还是连通图），那么v的后继节点必然能追溯到DFS遍历序列中v的祖先节点，也就是v的后继节点中存在到达DFS序列中v的祖先的路径，因此当DFS回溯到v节点时对于v的所有后继节点u来说，都有low[u]<dfn[v]。

      如果v是一个割点，对所有v的后继节点u进行DFS后，必然有low[u]>=dfn[v]，这是因为，当遍历v并将其锁定后，到达v的祖先节点的路径已经被封死，v的后继节点必然不可能访问到v的祖先节点，因此，必然有low[u]>=dfn[v]。

 

 

有了上面的分析，下面写出求无向图点割集的代码：

#include<iostream>using namespace std;struct L{int v;L *next;};class HEAD{public:int id;L *next;HEAD(){id=0;next=NULL;}};HEAD head[1000];  int dfn[1000],low[1000],t;     bool lock[1000],C[1000];void find(int father,int v){    int count=0;/*统计v的孩子数*/dfn[v]=low[v]=++t;     /*将访问时间赋给dfn[v]和low[v]*/lock[v]=false;      /*标记v点已经访问过,不能再被访问*/for(L *p=head[v].next;p!=NULL;p=p->next){if(lock[p->v])  /*如果v的直接后继节点没有访问过，则对其遍历*/{find(v,p->v);  /*对v的直接后继遍历*/count++;        /* 孩子数+1 */if(low[v]>low[p->v])  /*如果v的孩子能追溯到更早的祖先,则v也能追溯到*/low[v]=low[p->v];}else if(p->v!=father&&low[p->v]<low[v])  /*如果v的直接孩子节点已经被访问过*/low[v]=low[p->v];if(!father&&count>1)/*如果当前节点是DFS遍历到的第一个节点,则判断其是否有多个孩子*/C[v]=true;else if(father&&dfn[v]<=low[p->v])   /*否则判断其后继能否追溯到v的祖先*/C[v]=true;}}int main(){int n,i,a,b;cin>>n;while(cin>>a>>b&&a&&b)/*建立邻接表,输入无向图边每条a b,以0 0结束*/{L *p=new L;p->next=head[b].next;head[b].next=p;p->v=a;p=new L;p->next=head[a].next;head[a].next=p;p->v=b;head[b].id++;head[a].id++;}memset(lock,true,sizeof(lock));memset(dfn,0,sizeof(int)*1000);memset(C,0,sizeof(C));  /*C数组用来标记那些点是割点,刚开始全部置为false*/t=0;   /*访问时间*/find(0,1);/*开始对1号点DFS,第一个遍历的前驱节点设为0*/for(i=1;i<=n;i++)/*输入割点*/if(C[i])cout<<i<<' ';cout<<endl;}