割点
来源:互联网 发布:淘宝 童鞋 童装 编辑:程序博客网 时间:2024/05/01 20:04
割点
题目:求一个连通图的割点,割点的定义是,如果除去此节点和与其相关的边,图不再连通,描述算法。
分析:
1. 最简单也是最直接的算法是,删除一个点然后判断连通性,如果删除此点,图不再连通,则此点是割点,反之不是割点(图的连通性一般通过深搜来判定,是否能一次搜索完 全部顶点);
2. 通过深搜优先生成树来判定。从任一点出发深度优先遍历得到优先生成树,对于树中任一顶点V而言,其孩子节点为邻接点。由深度优先生成树可得出两类割点的特性:
(1)若生成树的根有两棵或两棵以上的子树,则此根顶点必为割点。因为图中不存在连接不同子树顶点的边,若删除此节点,则树便成为森林;
(2)若生成树中某个非叶子顶点V,其某棵子树的根和子树中的其他节点均没有指向V的祖先的回边,则V为割点。因为删去v,则其子树和图的其它部分被分割开来。
仍然利用深搜算法,只不过在这里定义visited[v]表示为深度优先搜索遍历图时访问顶点v的次序号,定义low[v]=Min{visited[v],low[w],visited[k]},其中w是顶点v在深度优先生成树上的孩子节点;k是顶点v在深度优先生成树上由回边联结的祖先节点。
割点判定条件:如果对于某个顶点v,存在孩子节点w且low[w]>=visited[v],则该顶点v必为关节点。因为当w是v的孩子节点时,low[w]>=visited[v],表明w及其子孙均无指向v的祖先的回边,那么当删除顶点v后,v的孩子节点将于其他节点被分割开来,从来形成新的连通分量。
- #include <iostream>
- #include <string>
- using namespace std;
- #define MAX_VERTEX_NUM 13
- //邻接表存储结构
- typedef struct ArcNode{
- int adjvex;
- ArcNode *nextarc;
- }ArcNode;
- typedef struct VNode{
- string data;
- ArcNode* firstarc;
- }VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM];
- typedef struct{
- AdjList vertices;
- int vexnum, arcnum;
- }ALGraph;
- //返回u在图中的位置
- int LocateVex(ALGraph G, string u)
- {
- for(int i=0; i<G.vexnum; i++)
- if(G.vertices[i].data==u)
- return i;
- return -1;
- }
- //构造图
- void CreateDG(ALGraph &G)
- {
- string v1, v2;
- int i, j, k;
- cout<<"请输入顶点数和边数:";
- cin>>G.vexnum>>G.arcnum;
- cout<<"请输入顶点:";
- for(i=0; i<G.vexnum; i++)
- {
- cin>>G.vertices[i].data;
- G.vertices[i].firstarc=NULL;
- }
- cout<<"请输入边:"<<endl;
- for(k=0; k<G.arcnum; k++)
- {
- cin>>v1>>v2;
- i=LocateVex(G, v1);
- j=LocateVex(G, v2);
- //无向图
- ArcNode *arc=new ArcNode;
- arc->adjvex=j;
- arc->nextarc=G.vertices[i].firstarc;
- G.vertices[i].firstarc=arc;
- arc=new ArcNode;
- arc->adjvex=i;
- arc->nextarc=G.vertices[j].firstarc;
- G.vertices[j].firstarc=arc;
- }
- }
- //求割点
- int count ;
- int visited[MAX_VERTEX_NUM];
- int low[MAX_VERTEX_NUM];
- //从第v0个顶点出发深搜,查找并输出关节点(割点)
- void DFSArticul(ALGraph G, int v0)
- {
- int min, w;
- ArcNode *p;
- visited[v0]=min=++count;//v0是第count个访问的顶点,min的初值为visited[v0],即v0的访问次序
- for(p=G.vertices[v0].firstarc; p ; p=p->nextarc)
- {
- w=p->adjvex;
- if(visited[w]==0)//w未曾访问,是v0的孩子
- {
- DFSArticul(G, w);//从第w个顶点出发深搜,查找并输出关节点(割点),返回前求得low[w]
- if(low[w]<min)//如果v0的孩子节点w的low[]小,说明孩子节点还与其他节点(祖先)相邻
- min=low[w];
- if(low[w]>=visited[v0])//v0的孩子节点w只与v0相连,则v0是关节点(割点)
- cout<<G.vertices[v0].data<<" ";
- }
- else if(visited[w]<min)//w已访问,则w是v0生成树上祖先,它的访问顺序必小于min
- min=visited[w];
- }
- low[v0]=min;//low[v0]取三者最小值
- }
- void FindArticul(ALGraph G)
- {
- int i, v;
- ArcNode *p;
- count=1;
- visited[0]=1;//从0号节点开始
- for(i=1; i<G.vexnum; i++)
- visited[i]=0;
- p=G.vertices[0].firstarc;
- v=p->adjvex;
- DFSArticul(G, v);
- if(count<G.vexnum)
- {
- cout<<G.vertices[0].data<<" ";
- while(p->nextarc)
- {
- p=p->nextarc;
- v=p->adjvex;
- if(visited[v]==0)
- DFSArticul(G, v);
- }
- }
- }
- void main()
- {
- ALGraph g;
- CreateDG(g);
- cout<<"割点如下: "<<endl;
- FindArticul(g);
- cout<<endl;
- }
这篇博客讲解的更为详细:http://blog.csdn.net/xinghongduo/article/details/6202646
黑书上给出了关于求点割集的算法,但是比较模糊,我查阅了网络上的相关资料,理解了求点割集的过程,写出如下求点割集的代码,并写了一些简单的证明.
割点集的定义:如果在连通图G中去掉某一点后图不连通,那么这个点即为G的割点,所有割点的集合即为点割集。
求点割集的方法:利用tarjan算法的思想,用数组dfn[v]存储DFS遍历到点v的时间,数组low[v]存储点v能追溯到最早的祖先节点。
如果对于点v来说有如下结论:
1.如果点v是DFS序列的根节点,则如果v有一个以上的孩子,则v是一个割点。
2.如果v不是DFS序列根节点,并且点v的任意后继u能追溯到最早的祖先节点low[u]>=dfn[v],则v是一个割点。
证明1:
假设DFS遍历的第一个节点v不是割点,那么则有low[v]=dfn[v]=1,继续对v的孩子节点u遍历,必然有low[u]>=dfn[v],按照第二条性质,则v是割点,但我们已经假设v不是割点。这是由于v是DFS遍历的起始节点,在遍历序列中v没有祖先节点,v的所有后继节点能追溯到最早的祖先节点最多也就是v了,不可能比v再早了,因此必须把DFS遍历的第一个节点v单独考虑,那么怎么判断v是不是割点呢?
例如上图,设v是DFS序列访问的第一个节点,对v的孩子节点u和u的所有孩子节点进行DFS遍历并标记为已经访问后,如果v的另一个孩子节点k没有被标记为已经访问,那么u和k之间一定不存在边,也就是说u和k之间的连通必然需要点v,因此如果v是DFS遍历的第一个节点,对v是否为割点的判断方法是:看v是不是有多个孩子,如果有则v是割点。
证明2:
如果v不是DFS遍历的第一个节点,那么对于v的所有后继节点来说,如果v不是割点(也就是如果删掉点v,剩下的图还是连通图),那么v的后继节点必然能追溯到DFS遍历序列中v的祖先节点,也就是v的后继节点中存在到达DFS序列中v的祖先的路径,因此当DFS回溯到v节点时对于v的所有后继节点u来说,都有low[u]<dfn[v]。
如果v是一个割点,对所有v的后继节点u进行DFS后,必然有low[u]>=dfn[v],这是因为,当遍历v并将其锁定后,到达v的祖先节点的路径已经被封死,v的后继节点必然不可能访问到v的祖先节点,因此,必然有low[u]>=dfn[v]。
有了上面的分析,下面写出求无向图点割集的代码:
- #include<iostream>
- using namespace std;
- struct L
- {
- int v; L *next;
- };
- class HEAD
- {
- public:
- int id; L *next;
- HEAD(){ id=0; next=NULL;}
- };
- HEAD head[1000]; int dfn[1000],low[1000],t; bool lock[1000],C[1000];
- void find(int father,int v)
- {
- int count=0; /*统计v的孩子数*/
- dfn[v]=low[v]=++t; /*将访问时间赋给dfn[v]和low[v]*/
- lock[v]=false; /*标记v点已经访问过,不能再被访问*/
- for(L *p=head[v].next;p!=NULL;p=p->next)
- {
- if(lock[p->v]) /*如果v的直接后继节点没有访问过,则对其遍历*/
- {
- find(v,p->v); /*对v的直接后继遍历*/
- count++; /* 孩子数+1 */
- if(low[v]>low[p->v]) /*如果v的孩子能追溯到更早的祖先,则v也能追溯到*/
- low[v]=low[p->v];
- }
- else if(p->v!=father&&low[p->v]<low[v]) /*如果v的直接孩子节点已经被访问过*/
- low[v]=low[p->v];
- if(!father&&count>1) /*如果当前节点是DFS遍历到的第一个节点,则判断其是否有多个孩子*/
- C[v]=true;
- else if(father&&dfn[v]<=low[p->v]) /*否则判断其后继能否追溯到v的祖先*/
- C[v]=true;
- }
- }
- int main()
- {
- int n,i,a,b;
- cin>>n;
- while(cin>>a>>b&&a&&b) /*建立邻接表,输入无向图边每条a b,以0 0结束*/
- {
- L *p=new L;
- p->next=head[b].next;
- head[b].next=p;
- p->v=a;
- p=new L;
- p->next=head[a].next;
- head[a].next=p;
- p->v=b;
- head[b].id++;
- head[a].id++;
- }
- memset(lock,true,sizeof(lock));
- memset(dfn,0,sizeof(int)*1000);
- memset(C,0,sizeof(C)); /*C数组用来标记那些点是割点,刚开始全部置为false*/
- t=0; /*访问时间*/
- find(0,1);/*开始对1号点DFS,第一个遍历的前驱节点设为0*/
- for(i=1;i<=n;i++) /*输入割点*/
- if(C[i])
- cout<<i<<' ';
- cout<<endl;
- }
- 割点、割边
- 割点、割边
- 割点 割边
- 割点、割边
- 割点
- 割点
- 割点
- 割点
- 【割点】
- 割点
- 割点
- 割点
- 割点和割边
- 割点,割边模板
- 割点&割边模板
- 割点和割边
- 割点 割边 模板
- 割边与割点
- 产品36记:第五,市场是营养地
- 嵌套管程锁死
- javaBean总结
- 支持MOAC功能的Form开发步骤
- linux下tar.gz、tar、bz2、zip等解压缩、压缩命令小结
- 割点
- VBA关闭工作簿和退出Excel
- java发送手机短信
- 虚拟机安装Ubuntu开机出现“piix4_smbus0000:00:07.3: Host SMBus controller not enabled!”解决方法。
- 蔡文胜创业周末演讲实录
- 写给菜鸟的 Ubuntu下的vsftpd搭建FTP总结
- C++零基础入门学习(友元)
- 初尝Hadoop
- java多线程内容