《Algorithms》第1章:Algorithm with numbers 学习笔记

来源:互联网 发布:淘宝可以买发票吗 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 01:28
1、二进制乘法的两个算法:

这两个算法本质上是一样的。讲到分治的时候,还会介绍新的算法。



2、乘法运算、指数模运算、欧几里得最大公约数:




3、欧几里得算法的几个引理:
  • if a >= b, then a mod b < a/2
  • if d divides both a and b, and d = ax + by for some integers x and y(may be negative) , then necessarily d = gcd(a,b)

4、模除法:gcd(a,N) = 1(即互质) <==> 存在x,使得ax ≡ 1 (mod N) (可用反证法证明)


5、素性测试:
  • 最naive的想法:用 2到根号n 除n

  • 费马小定理,通过费马测试的数不一定都是素数;
    引理:如果存在一个相对N为素数的a使得 a^(N-1) ≠ 1 mod(N), 则小于N的所有数里面至少有一半(N/2)个 满足这种条件的数。
    根据引理:P(return yes when N is not prime)  ≤ 1/2
    所以只需在选取k个a,就可以使出错概率减小到1/ (2^k) (以上分析都不考虑Carmichael number)
    以下是伪码:

     附:当a = 2, n≤25*10^9时,费马素性测试的出错情况:(出错概率随着要测试的数的长度的增加而快速下降)



6、密码学原理:对发出的信息进行扰乱,使人读不懂其内容,而接收信息的人按照事先约定的某种方式讲扰乱的信息进行复原,然后即可读懂。分为 私匙协议 和 公匙协议(数论) 。











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