算法导论 第12章 二叉查找树

一、概念

1.定义与性质

（1）设x为二叉查找树中的一个结点，若y是x左子树中的一个结点，则key[y] <= key[x]；若y是x右子树中的一个结点，则key[x]<=key[y]

（2）二叉查找树上执行的基本操作的时间与树的高度成正比。

2.结构

（1）结点结构：

关键字key

卫星数据data

分别指向父、左右孩子的指针p, left, right

3.在二叉查找树上的操作

查找一个关键字：SEARCH(x, k)

求最小关键字：MINIMUM(x)

求最大关键字：MAXIMUM(x)

求前驱：PREDECESSOR(x)

求后继：SUCCESSOR(x)

插入一个结点：INSERT(T, z)

删除一个结点：DELETE(z)

4.二叉查找树的应用

1.遍历：中序遍历、先序遍历、后序遍历

2.查找：查找包含某个关键字的结点，查找关键字最大或最小的结点、查找某个结点的前驱或后继

 

二、代码

头文件

产品代码

测试代码

三、练习

12.1 二叉查找树

12.1-2

二叉查找树：左子树关键字<根结点关键字<右子树关键字

堆：左子树关键字<根结点关键字 && 右子树关键字<根结点关键字

不能，因为一个结点的的左子树与右子树的关键字大小没有关系

12.1-3

用栈实现：见算法导论-10.4-有根树的表示中的10.4-3

不用栈实现：见算法导论-10.4-5

12.1-4

//递归的先序遍历  void BST_Tree::Preorder_Tree_Walk(BST_Node *x)  {      //x不是叶子结点      if(x != NULL)      {          //访问当前结点          cout<<x->key<<' ';          //先序遍历当前结点的左子树          Preorder_Tree_Walk(x->left);          //先序遍历当前结点的右子树          Preorder_Tree_Walk(x->right);      }  }//递归的后序遍历  void BST_Tree::Postorder_Tree_Walk(BST_Node *x)  {      //x不是叶子结点      if(x != NULL)      {          //后序遍历当前结点的左子树          Postorder_Tree_Walk(x->left);          //后序遍历当前结点的右子树          Postorder_Tree_Walk(x->right);          //访问当前结点          cout<<x->data<<' ';      }  }

12.2 查询二叉查找树

12.2-1c，e12.2-2//递归地查找最小值  BST_Node *BST_Tree::Tree_Minimum(BST_Node *x)  {      if(x->left != NULL)          return Tree_Minimum(x->left);      else return x;  }  //递归的查找最大值  BST_Node *BST_Tree::Tree_Maximum(BST_Node *x)  {      if(x->right != NULL)          return Tree_Maximum(x->right);      else return x;  } 12.2-3//查找中序遍历下x的前驱，即小于x的最大值  BST_Node *BST_Tree::Tree_Predecessor(BST_Node *x)  {      //如果x的左子树非空      if(x->left != NULL)          //x的前驱是x的左子树的最大值          return Tree_Maximum(x->left);      //如果x的左子树为空且x有前驱y，那么y是x的最低祖先结点，且y的右儿子也是      BST_Node *y = x->p;      while(y != NULL && x == y->left)      {          x = y;          y = y->p;      }      return y;  }  12.2-4（1）4->left = 2 4->right =NIL2->left = 1 2->right = 3搜索路径4-2-1（2）1->right = 3 1->left = NUL3->left = 2 3->right = 4搜索路径1-3-4

12.3 插入和删除

12.3-1

//递归的二叉查找树的插入操作，分三种情况  void BST_Tree::Tree_Insert(BST_Node *x, BST_Node *z)  {      //已经存在      if(z->key == x->key)      {          cout<<"error:exist"<<endl;          return;      }      //插入到x的左子树中      else if(z->key < x->key)      {          //x没有左子树          if(x->left == NULL)          {              //修改指针，插入操作              x->left = z;              z->p = x;              return;          }          //x有左子树          else              //对x的左子树执行插入操作              Tree_Insert(x->left, z);      }      //插入到x的右子树中，与上面类似      else if(z->key > x->key)      {          if(x->right == NULL)          {              x->right = z;              z->p = x;          }          else              Tree_Insert(x->right, z);      }  } 

12.3-3

最坏是n^2

最好是nlgn

12.3-4

求y的前驱z分为两种情况，以下分别讨论：

（1）y有左孩子，则z是left[y]中最右边的结点，z没有右孩子，因此删除z时直接删除修改指针即可，没有问题

（2）y没有左孩子，则z是y的祖先，y是z右子树是最左边的点，又分为两种情况：

（2.1）若z没有左孩子，则直接删除z并修改指针，没有问题。

（2.2）若z有左孩子，则不直接删除z，而是用z代替y存在并删除y。这里会有问题，另一个数据结构中的保存了指向y的指针，但是y的内容转移到另一个结点上了，指向y的指针指向了一个被释放的空间。

解决方法：使TREE-DELETE返回删除后的y的指针，这个值可能会变，可能不变。让另一个数据结构的y指针指向TREE-DELETE的返回值。

12.3-5

不或交换，反例如图

12.3-6

当待删除结点有两个子树时，不删除待删除结点，而是删除它的前驱或后继，用随机数rand()%2来确定删除的前驱还是后继

代码见文：二

 

四、思考题

12-1 具有相同关键字元素的二叉树

见算法导论-12-1-具有相同关键字元素的二叉查找树

 

12-2 基数树

见算法导论-12-2-基数树

 

12-3 随机构造的二叉查找树中的平均结点深度

f）待解决