算法导论-第12章-二叉搜索（查找）树

一、概念

1.定义与性质

（1）设x为二叉查找树中的一个结点，其左子树中的关键字最大不超过x.key，其右子树中的关键字最小不低于x.key。

（2）二叉查找树上执行的基本操作的时间与树的高度成正比。

结构如下图所示：

2.结构

（1）结点结构：

关键字key

卫星数据data

分别指向父、左右孩子的指针p, left, right

3.在二叉查找树上的操作

查找一个关键字：SEARCH(x, k)

求最小关键字：MINIMUM(x)

求最大关键字：MAXIMUM(x)

求前驱：PREDECESSOR(x)

求后继：SUCCESSOR(x)

插入一个结点：INSERT(T, z)

删除一个结点：DELETE(z)

4.二叉查找树的应用

1.遍历：中序遍历（结果是从小到大）、先序遍历、后序遍历

2.查找：查找包含某个关键字的结点，查找关键字最大或最小的结点、查找某个结点的前驱或后继

 二叉搜索树的这些操作（搜索，mini，max，前驱，后继，插入，删除）都可以在O(h)时间内完成。（h是数的高度）

遍历（前，中，后）需要O(n)时间完成，n是结点个数。

二、代码

#include <iostream>#include <string>using namespace std;struct BST_Node{public:int key;//关键字int data;//卫星数据BST_Node *left;//左孩子BST_Node *right;//右孩子BST_Node *p;//父结点BST_Node(int x):key(x),data(x),left(NULL),right(NULL),p(NULL){}};//二叉查找树的结构class BST_Tree{public:BST_Node *root;BST_Tree():root(NULL){}public://二叉查找树中序遍历void Inorder_Tree_Walk(BST_Node *x);//查询二叉查找树BST_Node *Tree_Search(BST_Node *x, int k);BST_Node *Iterative_Tree_Search(BST_Node *x, int k);BST_Node *Iterative_Tree_Minimum(BST_Node *x);BST_Node *Iterative_Tree_Maximum(BST_Node *x);BST_Node *Tree_Successor(BST_Node *x);//插入和删除void Iterative_Tree_Insert(BST_Node *z);BST_Node *Tree_Delete(BST_Node *z);};/*************12.1 二叉查找树****************************************************************///递归的中序遍历void BST_Tree::Inorder_Tree_Walk(BST_Node *x){if(x != NULL){//中序遍历当前结点的左子树Inorder_Tree_Walk(x->left);//访问当前结点cout<<x->key<<endl;//中序遍历当前结点的右子树Inorder_Tree_Walk(x->right);}}/********12.2 查询二叉查找树****************************************************************///递归地查询二叉查找树BST_Node *BST_Tree::Tree_Search(BST_Node *x, int k){//找到叶子结点了还没找到，或当前结点是所查找的结点if(x == NULL || k == x->key)return x;//所查找的结点位于当前结点的左子树if(k < x->key)return Tree_Search(x->left, k);//所查找的结点位于当前结点的左子树elsereturn Tree_Search(x->right, k);}//非递归的查询二叉查找树BST_Node *BST_Tree::Iterative_Tree_Search(BST_Node *x, int k){//不是叶子结点且不是所查找的结点while(x != NULL && k != x->key){//所查找的结点位于当前结点的左子树if(k < x->key)x = x->left;//所查找的结点位于当前结点的右子树elsex = x->right;}return x;}//非递归找最小值BST_Node *BST_Tree::Iterative_Tree_Minimum(BST_Node *x){//只要有比当前结点小的结点while(x->left != NULL)x = x->left;return x;}//非递归找最大值BST_Node *Iterative_Tree_Maximum(BST_Node *x){//只要有比当前结点小的结点while(x->right != NULL)x = x->right;return x;}//查找中序遍历下x结点的后继，后继是大于key[x]的最小的结点BST_Node *BST_Tree::Tree_Successor(BST_Node *x){//如果有右孩子if(x->right != NULL)//右子树中的最小值return Iterative_Tree_Minimum(x->right);//如果x的右子树为空且x有后继y，那么y是x的最底层祖先结点，且y的左孩子也是x的祖先BST_Node *y = x->p;<span style="white-space:pre"></span>//找到x的最底层祖先，则为x的后继（直到x的祖先为左结点为止，即为x的后继）while(y != NULL && x == y->right){x = y;y = y->p;}return y;}/*********12.3插入和删除**********************************************************///二叉查找树的插入，非递归，插入是把某结点z插入到叶结点下面，先找到要插入的位置void BST_Tree::Iterative_Tree_Insert(BST_Node *z){//找到要插入的位置BST_Node *x = root, *y = NULL;//若x为空,x是要插入的位置，x的父是z->pwhile(x != NULL){<span style="white-space:pre"></span>//循环结束后找到y为叶节点，为z的父节点y = x;if(z->key == x->key){cout<<"error:exist"<<endl;return;}if(z->key < x->key)x = x->left;elsex = x->right;}//修改指针，注意树为空的情况z->p = y;if(y == NULL)root = z;else if(z->key < y->key)y->left = z;else y->right = z;}//递归的二叉查找树的插入操作，分三种情况  void BST_Tree::Tree_Insert(BST_Node *x, BST_Node *z)  {  //已经存在  if(z->key == x->key)  {  cout<<"error:exist"<<endl;  return;  }  //插入到x的左子树中  else if(z->key < x->key)  {  //x没有左子树，到了叶结点，递归结束条件if(x->left == NULL)  {  //修改指针，插入操作  x->left = z;  z->p = x;  return;  }  //x有左子树  else  //对x的左子树执行插入操作  Tree_Insert(x->left, z);  }  //插入到x的右子树中，与上面类似  else if(z->key > x->key)  {  if(x->right == NULL)  {  x->right = z;  z->p = x;  return;}  else  Tree_Insert(x->right, z);  }  } //二叉查找树的删除，实际删除的不一定是z，可能是z的后继//然后把z的值改为实际删除结点的值//1、z无孩子，则直接删除，修改父节点//2、z只有一个孩子，用孩子替换z即可//3、z有两个孩子，用z的后继代替z，还需变动其他结点//智商不够用啊，书上的方法看懂了，这下面的方法没看懂BST_Node *BST_Tree::Tree_Delete(BST_Node *z){BST_Node *x, *y;//若z最多只有一个孩子，实际删除的结点是zif(z->left == NULL || z->right == NULL)y = z;//若z有两个孩子，实际删除的结点是z的后继elsey = Tree_Successor(z);//用x表示"实际要删除的结点"的孩子（最多一个孩子）if(y->left != NULL)x = y->left;elsex = y->right;//修改指针，以删去结点if(x != NULL)//若"实际要删除的结点"没有孩子x->p = y->p;if(y->p == NULL)//若"实际要删除的结点"是根结点root = x;else if(y == y->p->left)y->p->left = x;else y->p->right = x;//"若初阶要删除的结点"不是"待删除的结点"，则内容替代if(y != z){z->key = y->key;z->data = y->data;}return y;}