最大和 NYOJ——104

给定一个由整数组成二维矩阵（r*c），现在需要找出它的一个子矩阵，使得这个子矩阵内的所有元素之和最大，并把这个子矩阵称为最大子矩阵。 

这个问题就是最大值子区间和的二维问题。

最大子区间和是说给你一个数组，然后让你找一个连续的子区间，让这个区间的数的和最大。很经典的简单DP。题目可以参考这个链接：http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=44。

一维问题的解决思路是，max_sum表示从第一数到目前的最大和，sum是某段区间的和，如果sum<0，那么sum没有利用价值了，把sum=0，否则就继续往上加。

max_sum=max((sum+=a[i])<0?0:sum,max_sum);

二维的问题，其实可以转化为一位的问题。

首先我们要注意到二维子矩阵在选取的时候是个矩阵，联系一个我们经常会用到的技巧：但我们需要频繁计算一个数据任意一个区间

的和的时候，我们会预先把这个数组使用啊a[i]=a[i]+a[i-1]的方式把它记录的值变为数组到这个位置的和，这样的好处就是任意一个区间[i,j]的和就可转化为了a[i]-a[j-1]。

在这里我们依然采用这样的技巧。我们把这个矩阵记录的值对于每个列向量都做上述改变。

然后我们就发现，但我们选取任意的连续行进行组合的时候，这个行区间对于的列的值的和都可以用上述方法快速获得，那么对于每个列的和又会变为一个求一维连续区间最大和问题了。到此这个问题就可以以O(n^2)的复杂度解决了。

代码如下：

 #include <stdio.h>#include <string.h>int map[102][102];int main(){    int i,j,k,m,t,r,c,max,temp,cc=0;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {cc++;        scanf("%d%d",&r,&c);        for(i=1;i<=r;i++){            for(j=0;j<c;j++)            {            scanf("%d",&map[i][j]);            map[i][j]=map[i][j]+map[i-1][j];}}for(i=1,m=map[1][0];i<=r;i++)for(j=i;j<=r;j++){for(k=max=0;k<c;k++){temp=map[j][k]-map[i-1][k];max=(max>=0?max:0)+temp;m=max>m?max:m;}}printf("%d\n",m);memset(map,0,sizeof(map));    }}