自然语言处理学习篇02——Edit Distance

第二章 Edit Distance

本篇内容将讲述Edit Distance（编辑距离的定义详见正文），具体又包含5个方面的内容：

1. Defining Minimum Edit Distance 
2. Computing Minimum Edit Distance
3. Backtrace for Computing Alignments
4. Weighted Minimum Edit Distance
5. Minimum Edit Distance in Computational Biololgy

1. Definition of  Minimum Edit Distance 

Edit Distance用于衡量两个strings之间的相似性。

两个strings之间的Minimum edit distance是指把其中一个string通过编辑（包括插入，删除，替换操作）转换为另一个string的最小操作数。

如上图所示，d（deletion）代表删除操作，s（substitution）代表替换操作，i（insertion）代表插入操作。

（为了简单起见，后面的Edit Distance 简写为ED）

如果每种操作的cost（成本）为1，那么ED = 5.

如果s操作的cost为2（即所谓的Levenshtein Distance），ED = 8.

2. Computing Minimum Edit Distance

那么如何找到两个strings的minimun edit distance呢？要知道把一个string转换为另一个string可以有很多种方法（或者说“路径“）。我们所知道起始状态（第一个string）、终止状态（另一个string）、基本操作（插入、删除、替换），要求的是最短路径。

对于如下两个strings：

X的长度为n

Y的长度为m

我们定义D（i，j）为 X 的前i个字符 X[1...i] 与 Y 的前j个字符 Y[1...j] 之间的距离，其中0<i<n, 0<j<m，因此X与Y的距离可以用D(n,m)来表示。

假如我们想要计算最终的D(n,m)，那么可以从头开始，先计算D(i, j) （i和j从1开始）的值，然后基于前面的结果计算更大的D(i, j)，直到最终求得D(n,m)。

算法过程如下图所示：

上图中使用的是”Levenshtein Distance“即替换的成本为2.

请读者深入理解一下上图中的循环体部分： D(i,j)可能的取值为:

1. D(i-1, j) +1 ；

2. D(i, j-1) +1 ；

3. D(i-1, j-1) + 2 (当X新增加的字符和Y新增加的字符不同时，需要替换）或者 + 0（即两个字符串新增加的字符相同）

下图即对字符串 INTENTION 和 EXECUTION 一步步求ED形成的表。左上角画红圈的8就是两个字符串间的最小ED。

3. Backtrace for Computing Alignments

上一节课我们求得了Edit distance，但是仅有Edit distance也是是不够的，有时我们也需要把两个strings中的每个字符都一一对应起来（有的字母会与“空白”对应），这可以通过Backtrace(追踪)ED的计算过程得到。

通过上一节我们知道，D(i, j)的取值来源有三种，D(i-1, j)、D(i, j-1)或者D(i-1, j-1)，下表通过添加箭头的方式显而易见地给出来整个表格的计算过程（下面的阴影表示的只是一种路径，你会发现得到最后结果的路径不是惟一的，因为每个单元格数字可能由左边、下边或者左下边的得到）。

从表格右上角开始，沿着追踪的剪头，就可以拎出一条路径出来（不惟一），这条路径的剪头可以轻易的展现是通过哪种方法（插入、删除、替换）完成的。

表格右上角阴影部分四个格子，路径只有一条，我们也可以很轻易地看出最后四个字母是相同的，但这种情况并不绝对，比如中间的阴影6格也只有一种路径，可是却分别对应于字母e和c。

算法实现“寻找路径”的思想很简单——就是给每个单元格定义一个指针，指针的值为LEFT/DOWN/DIAG(不明白为什么他为什么说是指针)，如下图所示。

想一下普通的情况，如下图，从(0,0)到(M,N)的任何一条非下降路径都对应于两个strings间的一个排列，而最佳的排列由最佳的子排列组成。

简单思考一下算法的性能

Time：    O(nm)

Space：  O(nm)

Backtrace： O(n+m)

4. Weighted Minimum Edit Distance

ED也可以添加权重，因为在拼写中，某些字母更容易写错。如下图显示的混淆矩阵，数值越大就代表被误写的可能性越高。如a就很可能被误写为e，i，o，u

众所周知，键盘排布会对误写产生影响。

Weighted Min Edit Distance的算法如下图所示

这幅图将del、ins、sub三种操作都定义了不同的权重，在“莱温斯基距离“中，del和ins的cost都是1，sub是2。

5. Minimum Edit Distance in Computational Biology

本段讲述Minimum Edit Distance在计算生物学中的应用。比如比较如下图（上班部分）两个基因组序列，我们希望最后能把两个序列对齐（下半部分），进而研究不同的基因片段的功能等。

在Natural Language Processing我们讨论了最小distance和weight，而在Computational Biology中我们将要介绍最大Similarity（相似性）和scores。

在Computational Biology中有个重要算法——Needleman-Wunsch算法。

（未完待续）