poj 2987(最大权闭合图)最小割求解:关键是思路
来源:互联网 发布:vb中mid函数的使用方法 编辑:程序博客网 时间:2024/06/17 19:04
同样看了别人的思路,自己写代码。
给你两个整数n和m。
表示公司要开除n个员工,员工之间的关系有m个。
然后给你n个数字,可正可负。
表示开除这个员工所得到(正)或损失(负)的利益。
m 个关系 a b
表示b员工是a员工的下属。
条件:如果开除一个员工,那么必须要开除他的下属,具有传递性(即也要开除下属的下属)。问你公司最大可以获得多少利益,需要开除的人数是多少。
解题报告:
闭合图定义:
它是有向图的一个点集,且这个点集的所有出边仍然指向该点集。
最大权闭合图:
每一个点有一个权值,可正可负,在所有的合法闭合图中,点权之和最大的图就是最大权闭合图。
明显,这道题目就是一个典型的最大权闭合图。
具体推理证明详见国家集训队论文:胡波涛的《最小割模型在信息学竞赛中的应用》
建图:
一个超级源点s,超级汇点t。
s连接所有点权为正的点,容量是点权。
所有点权为负的点连接汇点t,容量的点权乘以-1。
b 是 a的下属,那么连接 a b,容量无穷大。
求出最大流,那么所
有正点权的和 减去 最大流 就是最大权闭合图的最大权,就是公司的最大利益。
在残量网络中从原点s出发,一遍dfs,走还有容量的点,经过的点数就是要开除的人数。
略微证明一下:(证明转自:http://www.answeror.com/archives/27629)
1.因为不连接源汇的边的权值都是无穷大, 所以最小割一定是简单割(割边只和源点汇点有连接), 最终被删除的点集即为去掉割以后源点s所在的集合, 记为S, 即若删除了v, 则v的所有后继都会被删除, 这就满足了原问题的唯一约束条件, 保证了解的正确性.
2.设正收益为b[i], 负收益的绝对值为c[i]. 对于任何一个负收益的顶点v[i]如果在S集合中, 说明v[i]要被删除, 此时容量c[i]被计算在切割中; 对于任何一个正收益的顶点v[i]如果在S集合中, 说明v[i]要被删除, 此时容量b[i]未被计算在切割中. 设正收益之和为B, 则B-sum{b[i]}+sum{c[j]}即为最小割的值(其中i为S中的所有正权点, j为S中的所有负权点), 等价于B-(sum{b[i]}-sum{c[j]}), 注意到括号内的值即为待求的总收益, 所以最小割对应了最大收益, 保证了解的最优性.
Source CodeProblem: 2987 User: 1013101127 Memory: 3176K Time: 2422MS Language: G++ Result: Accepted Source Code #include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<set>#include<cstdio>#include<string>using namespace std;const long long maxn=5555;//const int maxm=300006;const long long inf=0x1fffffff;struct node{ long long v,next; long long val;}s[6000*34];long long level[maxn];//顶点的层次long long p[maxn];long long que[maxn*10];//BFS中用于遍历的顶点,DFS求增广中记录边long long out[10*maxn];//DFS用于几乎定点的分支long long ind;long long cop_poit[maxn];node cop_mp[maxn*100*2];long long topset;void init(){ ind=0; memset(p,-1,sizeof(p));}inline void insert(long long x,long long y,long long z){ s[ind].v=y; s[ind].val=z; s[ind].next=p[x]; p[x]=ind++; s[ind].v=x; s[ind].val=0; s[ind].next=p[y]; p[y]=ind++;}long long max_flow(long long n,long long source,long long sink){ long long ret=0; long long h=0,r=0; while(1)//DFS { long long i; for(i=0;i<=n;++i) level[i]=0; h=0,r=0; level[source]=1; que[0]=source; while(h<=r)//BFS { long long t=que[h++]; for(i=p[t];i!=-1;i=s[i].next) { if(s[i].val&&level[s[i].v]==0) { level[s[i].v]=level[t]+1; que[++r]=s[i].v; } } } topset=r;//记录原点的集合个数 if(level[sink]==0)break;//找不到汇点 for(i=0;i<=n;++i) out[i]=p[i]; long long q=-1; while(1) { if(q<0) { long long cur=out[source]; for(;cur!=-1;cur=s[cur].next) { if(s[cur].val&&out[s[cur].v]!=-1&&level[s[cur].v]==2) { break; } } if(cur>=0) { que[++q]=cur; out[source]=s[cur].next; } else { break; } } long long u=s[que[q]].v; if(u==sink)//一条增广路 { long long dd=inf; long long index=-1; for(i=0;i<=q;i++) { if(dd>s[que[i]].val) { dd=s[que[i]].val; index=i; } } ret+=dd; //cout<<ret<<endl; for(i=0;i<=q;i++) { s[que[i]].val-=dd; s[que[i]^1].val+=dd; } for(i=0;i<=q;i++) { if(s[que[i]].val==0) { q=index-1; break; } } } else { long long cur=out[u]; for(;cur!=-1;cur=s[cur].next) { if(s[cur].val&&out[s[cur].v]!=-1&&level[u]+1==level[s[cur].v]) { break; } } if(cur!=-1) { que[++q]=cur; out[u]=s[cur].next; } else { out[u]=-1; q--; } } } } return ret;}long long m,n;int main(){ long long u,v; long long va[maxn]; long long sum=0; while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) { init(); long long start=0; sum=0; long long end=n+1; for(int i=1;i<=n;i++) { cin>>va[i]; if(va[i]>=0) { sum+=va[i]; insert(start,i,va[i]); } else insert(i,end,-va[i]); } for(int i=1;i<=m;i++) { cin>>u>>v; //if(va[u]>0&&va[v]<0) insert(u,v,inf); //if(va[u]<0&&va[v]>0) //insert(v,u,inf); } long long ans=max_flow(n+2,start,end); long long ss=topset; cout<<ss<<' '<<sum-ans<<endl; } return 0;}
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