将有序数组转换为平衡二叉搜索树

问题

给定一个有序数组，数组元素升序排列，试将该数组转换为一棵平衡二叉搜索树（Balanced Binary Search Tree）。

 

思路

这个问题用递归很容易解出来。考虑下面一棵二叉搜索树：

这是一棵平衡的二叉搜索树，所谓平衡的定义，就是指二叉树的子树高度之差不能超过1。

如果要从一个有序数组中选择一个元素作为根结点，应该选择哪个元素呢？我们应该选择有序数组的中间元素作为根结点。

选择了中间元素作为根结点并创建后，剩下的元素分为两部分，可以看作是两个数组。这样剩下的元素在根结点左边的作为左子树，右边的作为右子树。

 

解法

由上面的思路，我们可以在O（N）的时间内从有序数组创建一棵平衡的BST，使用分治算法，代码如下：

struct node* sortedArrayToBST(int arr[], int start, int end) {  if (start > end) return NULL;  // 这里同（start+left）/2，目的是为了防止溢出.  int mid = start + (end - start) / 2;  struct node *root = newNode(arr[mid]);//newNode创建二叉树结点，具体代码请看文章 二叉树问题汇总（1）  root->left = sortedArrayToBST(arr, start, mid-1);  root->right = sortedArrayToBST(arr, mid+1, end);  return root;} struct node* sortedArrayToBST(int arr[], int n) {  return sortedArrayToBST(arr, 0, n-1);}

扩展

如何判断一棵二叉树是平衡二叉树？

一颗平衡的二叉树是指其任意结点的左右子树深度之差不大于1。判断一棵二叉树是否是平衡的，可以使用递归算法来实现。

[cpp] view plaincopy

1. bool is_balanced(BinaryTreeNode* pRoot)  
2. {  
3.     if(pRoot == NULL) //基本情况，为空的话，返回true  
4.         return true;  
5.    
6.     int left = depth(pRoot->m_pLeft);  
7.     int right = depth(pRoot->m_pRight);  
8.     int diff = left - right; //计算左右子树深度之差  
9.     if(diff > 1 || diff < -1) //如果深度之差大于1返回false  
10.         return false;  
11.    
12.     return is_balanced(pRoot->m_pLeft) && is_balanced(pRoot->m_pRight); //递归判断左右子树，注意是&&，即左右子树都必须是平衡的这棵二叉树才是平衡的  
13. }  

该函数的功能定义是二叉树pRoot是平衡二叉树，即它所有结点的左右子树深度之差不大于1。首先判断根结点是否满足条件，如果不满足，则直接返回false。如果满足，则需要判断左子树和右子树是否都是平衡二叉树，若都是则返回true，否则false。

上面代码性能不高，会重复遍历结点，一个改进的算法是采用后序遍历的方式遍历树的结点，在遍历到本结点前我们已经遍历完了它的左右子树，我们只需要在遍历的时候记录结点的深度，就可以一边遍历一边判断该结点是否是平衡的。代码如下：

[cpp] view plaincopy

1. bool is_balanced_2(BinaryTreeNode* pRoot, int* pDepth)  
2. {  
3.     if(pRoot == NULL)  
4.     {  
5.         *pDepth = 0;  
6.         return true;  
7.     }  
8.    
9.     int left, right;  
10.     if(is_balanced_2(pRoot->m_pLeft, &left) //左子树平衡  
11.         && is_balanced_2(pRoot->m_pRight, &right)) //右子树平衡  
12.     {  
13.         int diff = left - right;  
14.         if(diff <= 1 && diff >= -1)  
15.         {  
16.             *pDepth = 1 + (left > right ? left : right);  
17.             return true;  
18.         }  
19.     }  
20.    
21.     return false;  
22. }  

该函数功能定义是返回以pRoot为根的二叉树是否是平衡二叉树，同时把树的深度保存在pDepth指向的值中。基本情况是树为NULL，则深度为0，返回true。否则只有左右子树都是平衡的情况下，深度分别存在变量left和right中，判断左右子树的深度之差是否不大于1，如果是则返回true，注意还要设置树的深度值。

 

参考资料

何海涛：判断二叉树是否平衡