尺规画图——三等分点

一个简单的问题：一根绳子，要把他分成三段，唯一的工具是刀，怎么办？

如果分成两段，傻瓜都知道怎么办，那么如果是三段我想应该会难倒很多人。

偶然间，发现三角形的质心坐标

x0=(x1+x2+x3)/3;

y0=(y1+y2+y3)/3;

定理：三角形A1A2A3的质心为p，那么其中位线构成的三角形B1B2B3的质心也是p。

这个很容易证明：

B1( (x1+x2)/2 , (y1+y2)/2)

B2( (x2+x3)/2 , (y2+y3)/2)

B3( (x3+x1)/2 , (y3+y1)/2)

根据质心坐标公式，三角形B1B2B3的质心p’和p重合。

于是想到一个很笨的办法，如此对三角形A1A2A3求中位线得到三角形B1B2B3，那么对B1B2B3做同样的操作，经过相当多次的循环之后，B三角形会越来越小，直到B三角形成为一个点，于是三角形A1A2A3的质心也就求出来了。求质心的过程，其实也就和将绳子分三段是差不多的。

比如，令x1=x2=0，x3=length(绳子长度)。那么最后质心的横坐标就是绳子三等分的结果。

这里归纳一下其解法：

Step one：       X1=0，X2=0，X3=LENGTH。

Step two：       X1’=(X1+X2)/2

X2’=(X2+X3)/2

X3’=(X3+X1)/2

Step three：    当X1X2X3足够接近时结束，否则继续steptwo

 

这种迭代算法不仅仅适用于求三等分，可以推广到求任意多等分点。