母函数的定义以及整数拆分模板 母函数（Generating function）详解

在数学中，某个序列的母函数是一种形式幂级数，其每一项的系数可以提供关于这个序列的信息。使用母函数解决问题的方法称为母函数方法。

母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

由此可以看出:

1. x的系数是a1,a2,…an的单个组合的全体。

2. x2的系数是a1,a2,…a2的两个组合的全体。

………

n. xn的系数是a1,a2,….an的n个组合的全体（只有1个）。

由此得到：

母函数的定义：

对于序列a0，a1，a2，…构造一函数：

称函数G(x)是序列a0，a1，a2，…的母函数

这里先给出2个例子，等会再结合题目分析：

第一种：

有1克、2克、3克、4克的砝码各一 枚，能称出哪几种重量？每种重量各有几种可能方案？ 

考虑用母函数来接吻这个问题：

我们假设x表示砝码，x的指数表示砝码的重量，这样：

1个1克的砝码可以用函数1+x表示，

1个2克的砝码可以用函数1+x2表示，

1个3克的砝码可以用函数1+x3表示，

1个4克的砝码可以用函数1+x4表示，

上面这四个式子懂吗？

我们拿1+x2来说，前面已经说过，x表示砝码，x的指数表示重量，即这里就是一个质量为2的砝码，那么前面的1表示什么？1代表重量为2的砝码数量为0个。（理解！）

不知道大家理解没，我们这里结合前面那句话：

"把组合问题的加法法则和幂级数的t的乘幂的相加对应起来"

1+x2表示了两种情况：1表示质量为2的砝码取0个的情况，x2表示质量为2的砝码取1个的情况。

这里说下各项系数的意义：

在x前面的系数a表示相应质量的砝码取a个，而1就表示相应砝码取0个，这里可不能简单的认为相应砝码取0个就该是0*x2(想下为何？结合数学式子)。

Tanky　Woo 的程序人生：http://www.wutianqi.com/

所以，前面说的那句话的意义大家可以理解了吧？

几种砝码的组合可以称重的情况，可以用以上几个函数的乘积表示：

(1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4)

=(1+x+x2+x3)(1+x3+x4+x7)

=1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10  

从上面的函数知道：可称出从1克到10克，系数便是方案数。（！！！经典！！！）

例如右端有2x5 项，即称出5克的方案有2：5=3+2=4+1；同样，6=1+2+3=4+2；10=1+2+3+4。

故称出6克的方案有2，称出10克的方案有1 。

接着上面，接下来是第二种情况：

求用1分、2分、3分的邮票贴出不同数值的方案数：

大家把这种情况和第一种比较有何区别？第一种每种是一个，而这里每种是无限的。

以展开后的x4为例，其系数为4，即4拆分成1、2、3之和的拆分数为4；

即 ：4=1+1+1+1=1+1+2=1+3=2+2

这里再引出两个概念整数拆分和拆分数：

所谓整数拆分即把整数分解成若干整数的和（相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子，盒子允许空，也允许放多于一个球）。

整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。 

现在以上面的第二种情况每种种类个数无限为例，给出模板：

模板

关于什么是母函数 ， 以及在现实生活中的应用 ， 请大家详看 或者 HDU 母函数 PPT：

http://www.cppblog.com/MiYu/archive/2010/08/05/122290.html

 

 

 

 

 

 

 

对于给出的母函数模板 ， 让人理解起来比较费劲的！以下给出几种解释 ， 和自己理解

//made by syx
//time 2010年9月11日 10:17:27
//母函数例题

/*//整数拆分模板

由于  可以把x^1看成 是重量为1的砝码  对于重量为1的砝码数是无限的 所以就有了式子（1+x^1+x^2+x^3.....）

重量为2的砝码可以组成式子（1+x^2+x^4+x^6+.....）

。。。。。。。

之后各个式子相乘 则x^n前的系数便是方案数 

注意这里的每种砝码数量是无限的   当是有限的时候就要做下限值了 具体看埋葬的其它文章

 

#include <iostream>
using namespace std;
const int lmax=10000;
//c1是用来存放展开式的系数的，而c2则是用来计算时保存的，
//他是用下标来控制每一项的位置，比如 c2[3] 就是 x^3 的系数。
 //用c1保存，然后在计算时用c2来保存变化的值。
int c1[lmax+1],c2[lmax+1];
int main()
{
            int n, i, j, k ;
           // 计算的方法还是模拟手动运算，一个括号一个括号的计算，
           // 从前往后
            while ( cin>>n )

          {
                     //对于 1+x+x^2+x^3+ 他们所有的系数都是 1 
                     // 而 c2全部被初始化为0是因为以后要用到 c2[i] += x ; 
                     for ( i=0; i<=n; i++ )

                     {
                                c1[i]=1;//蓝色字体表示埋葬个人理解的第一次运行的意义
                                c2[i]=0;//第一次运行 表示出第一个式子的各项系数放进c1
                     }
                      //第一层循环是一共有 n 个小括号，而刚才已经算过一个了
                      //所以是从2 到 n 
                     for (i=2; i<=n; i++)//第一个式子表示完毕 从第二个式子开始乘 一共有n个括号

                   {
                                 // 第二层循环是把每一个小括号里面的每一项，都要与前一个
                                 //小括号里面的每一项计算。
                                for ( j=0; j<=n; j++ )//j是控制的第一个式子中的每一项（即前一个式子）
                                 //第三层小括号是要控制每一项里面 X 增加的比例 
                                 // 这就是为什么要用 k+= i ; 
                                         for ( k=0; k+j<=n; k+=i )//k是控制第二个式子中的系数（后一个式子）

                                        {                    //而且要保持次数不会超过n 因为最多分解为x的

                                                             //n次方即 表示1个质量为n的砝码
                                                 // 合并同类项，他们的系数要加在一起，所以是加法，呵呵。 
                                                 // 刚开始看的时候就卡在这里了。 
                                                 c2[ j+k] += c1[ j];//把乘的的结果即系数的变化放进c2
                                         }
                               // 刷新一下数据，继续下一次计算，就是下一个括号里面的每一项。 
                              for ( j=0; j<=n; j++ )

                              {
                                          c1[j] = c2[j] ;
                                          c2[j] = 0 ;
                              }
                   }
                    cout<<c1[n]<<endl;
        }
         return 0;
}
这句 c2[j+k] += c1[j];的理解还要自己好好的体会体会啊！
*/

自己理解：对于（#式）  (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....)*(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^10+....)*(1+x^3+x^6+x^9+x^12....).....

第一个for给c1 和 c2 赋值 ， 把上面#式的第一个括号(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....)的系数给放在c1中，

从而再次计算从 # 的 第二个括号开始 ， 所以 i 就是代表的# 式第几个括号，

而 用程序模拟手工计算 ， 就是 先计算第一个括号 与 第二个括号 计算 ， 把结果放到c2中，

在把结果与第三个括号计算 ， 把结果放到c2中 ， 在和第四个括号计算，........

所以j 就是指的 已经计算出 的 各项的系数 ，比如第一次之后 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+... ， j=0指向1 ，

j=2 指向x ， .... ， 而 k 就是指 将要计算的那个括号中的项 ， 因为第i个括号 ， 中的指数为0 ， i ， 2i....所以 k要 + i ；

而结果 c2[j+k] += c1[j]; 就是把 以计算出的 j项的系数 和 现在正在计算的括号的k项相乘 ， 所以指数为j+k ， 所以结果放到c2[j+k] 中 ， 这就是这几个for的作用！

最后刷新下结果 ， 下一组数据计算！

埋葬个人的理解

对于（#式）  (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....)*(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^10+....)*(1+x^3+x^6+x^9+x^12....).....

1第一个for给c1 和 c2 赋值 ， 把上面#式的第一个括号(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....)的系数给放在c1中，

从而再次计算从 # 的 第二个括号开始 ，

所以 i 就是代表的# 式第几个括号

2 j即第i个式子中的第j项

3而 k 就是指 将要计算的那个括号中的项 ， 因为第i个括号x中的指数为0 ， i ， 2i....所以 k要 + i ；

4  c2[ j+k] += c1[ j]; 

c2[j] c1 [j]是指 即次数为j的系数；

c1是用来存放展开式的系数的 而c2则是用来计算时保存的

这里指c1[j]乘以k之后 次数也变成了j+k， 故c2[j+k]的系数要增加c1[j]个；

 

5 n是砝码的个数

新例题：hdu1085 用1 2 5的硬币买不到的东西的价值（输出最小的）3者数量分别为num1 num2 num3

#include "stdio.h"

int c1[10000],c2[10000];

int main()

{

    int i,j,k,num1,num2,num3,n;

    while(scanf("%d %d %d",&num1,&num2,&num3)!=EOF)

    {

        if(!num1&&!num2&&!num3) break;

        n=num3*5+num2*2+num1;

        for(i=0;i<=n;i++)

        {

            c1[i]=0;

            c2[i]=0;

        }

        for (i=0;i<=num1;i++)

            c1[i]=1;

        for(j=0;j<=num1;j++)

//    for (k=0;k+j<=num2*2;k=k+2)//num2*2表示最多可能达到的次数

            for (k=0;k<=num2*2;k=k+2)//num2*2表示最多可能达到的次数

            {  //注意  这里不要用k+j<=num2 因为以前求整数拆分输入数n 要保证次数小于n 因为最大为

//x的n次方 表示为1个重为n的砝码     这里是求多项式相乘 不用限制了

                c2[j+k]+=c1[j];

            }

            for (j=0;j<=num2*2+num1;j++)//因为 下面的c2[j] 中的下标最大为j+k 由上一步可以看出 而j最大为num1 k最大为num2*2

            {                                          

                c1[j]=c2[j];                                         

                c2[j]=0;                         

            }

            for(j=0;j<=num2*2+num1;j++)//num1和num2*2不一定那个大那 要表示出所有的项数 所以要这样

                for(k=0;k<=num3*5;k+=5)

c2[j+k]+=c1[j];

for (j=0;j<=num3*5+num2*2+num1;j++)

{                                          

c1[j]=c2[j];                                         

c2[j]=0;                         

}

for (i=0;i<=n;i++)

if(!c1[i])  {printf("%d\n",i);break;}

if(i==n+1) printf("%d\n",i);

    }

}

说白了就是求多项式的值