九连环的递归算法（C和C++）

九连环的递归算法（C和C++）

九连环的递归算法

一、九连环简介

九连环游戏是中国人自己发明的，它的历史非常悠久，据说是起源于战国时期。九连环主要是由一个框架和九个圆环组成：每个圆环上连有一个直杆，而这个直杆则在后面一个圆环内穿过，九个直杆的另一端用一块木板或圆环相对固定。

二、九连环的规律

通过玩九连环你就会发现存在这样一个规律：

（1）第 1环可以自由上下
（2）而上/下第 n环时（n>1),则必须满足：
      （a）第 n-1个环在架上
      （b）前 n-2个环全部在架下

三、拆解/安装的过程

正确的拆解是先以第 9环为目标，先拆下它，简化为拆一个 8连环。接着再也第 8 环为目标，拆下它，简化为拆一个 7连环。以此类推，直至全部拆解。

其实安装和拆解是一个道理，因为他们均是使用上面说的规律来完成的。

正确是安装也是先以第 9环为目标，先装上它，简化为装一个 8连环。接着再也第 8 环为目标，装上它，简化为装一个 7连环。以此类推，直至全部安装。

当然，现在这么说是便于理解，当你深刻的理解了上面所说的规律后，就会发现，安装上第 9环后，问题可以被简化为装一个 7连环，而当装上第 7 环后，问题就被简化为装一个 5连环了，呵呵，就是这样的，不知道你现在是否明白我的意思……

四、一个猜想

仔细观察九连环的结构、思考九连环的规律及拆解/安装的过程，你是不是有一种感觉：九连环跟递归一定有联系。你看，递归的基本思想是把一个大的问题分解为一个规模较小的问题，从这些较小问题的解，构造出大问题的解，而这些规模较小的问题，用同样的方法分解成更小的问题，从更小问题的解，构造出较小的问题，一层层下去，一般最后总是可以分解到可以直接求解的小问题。嘿嘿，九连环的拆解/安装多么的符合这个规律啊……^_^

五、算法实现

以下是算法实现，程序写的很简洁，省略了很多功能的实现，比如计数等，如果你觉得有必要的话，可以自行添加上去，我相信很容易，并不要很多的改动。

The C Code Here:

/****************************/
           任意 N连环均适用
           日期：2002/11/6
           程序设计：道可道
           腾讯QQ：3908000
           电邮：[e-mail] 
/****************************/

void UpRing(int  n);         /*函数声明*/

void DownRing(int  n)     /*下环逻辑*/
{
    if(n>2) DownRing(n-2);
    printf("下第%d环\n",n);
    if(n>2) UpRing(n-2);
    if(n>1) DownRing(n-1);
}

void UpRing(int  n)         /*上环逻辑*/
{
    if(n>1) UpRing(n-1);
    if(n>2) DownRing(n-2);
    printf("上第%d环\n",n);
    if(n>2) UpRing(n-2);
}

void main()                

{

    printf("拆解\n");
    DownRing(9);
    printf("安装\n");
    UpRing(9);
    printf("结束\n");
}

 

The C++ Code Here:/****************************/           任意 N连环均适用           日期：2012/8/12           程序设计：YCY           电邮：[e-mail]/****************************/ #include<iostream> using namespace std;  class Ring{public:       Ring(int n):nRingNum(n){}       void UpRing(int n);       void DownRing(int n);       void startDownRing();        void startUpRing();       void totalCnt();       void setUpZero();private:       int nRingNum;       static int s_nCnt;}; int Ring::s_nCnt = 0;    //计数void Ring::UpRing(int n)  //Upring是DownRing的逆过程.{       ++s_nCnt;       if(n>1) UpRing(n-1);       if(n>2) DownRing(n-2);       cout << "上第" << n << "环" << endl;       if(n>2) UpRing(n-2);} void Ring::DownRing(int n){       ++s_nCnt;       if(n>2) DownRing(n-2);       cout <<"下第" << n << "环" << endl;       if(n>2) UpRing(n-2);       if(n>1) DownRing(n-1);} void Ring::startDownRing(){       cout << "拆解" << nRingNum << "连环操作!" << endl;       DownRing(nRingNum);       cout << "拆解完毕" << endl;} void Ring::startUpRing(){       cout << "安装" << nRingNum << "连环操作!" << endl;       UpRing(nRingNum);       cout << "安装完毕" << endl;} void Ring::totalCnt(){       cout << "共累计上、下环" << s_nCnt << "次!" << endl << endl;} void Ring::setUpZero(){       Ring::s_nCnt = 0;} int main()                  {       Ring ring(3);       ring.startDownRing();       ring.totalCnt();       ring.setUpZero();      //置为0        ring.startUpRing();       ring.totalCnt();       ring.setUpZero();              return 0;}

 

存在以下序列即：

 N(numOfRing）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

…

 Cnts

1

2

5

10

21

42

85

170

341

682

1365

….

 

呈现阶层递增的趋势。