第 k 短路

        先引入一个问题：

                有 n 个城市，有些城市之间有一条单向的道路，现在，给了起始点和终止点，要求我们从起始点走到终止点，并且要求，走的是所有路径的长度中第 k 短的

        这道题要是当 k=1 的时候是最短路问题，当 k=2 的时候是次短路问题

        怎么解决第 k 短路问题呢？

        我们可以用一个 A* 搜索来做：

        定义估价函数 ： f = g + h

                g : 起始点到当前点的距离（可以直接由 DFS 得到）

                h : 当前点到终点的最短距离

         这样，我们就把第 k 短路问题和最短路问题联系起来了：用最短路问题求估价函数中的 h

        对于无向图，我们只需对原图做一次在 终点 的 dijstra ，就可以得到所有点到终点的最短距离

        对于有向图，我们可以吧原图反向建边，得到一个新图，再在新图中对 终点 做一次 dijstra ，这样就可以求出各点到终点的最短距离

        估价函数都解决了，下面就是如何确定这是第 k 短路的问题了

        终点第一次出队列的时候，我们是不是就求出了起点到终点的最短路了？第二次出队的时候，我们是不是就求出起点到终点的次短路了？第 k  次出队的时候我们就求出起点到终点的第 k 短路了

        好了，下面来一个模板，有什么没有明白的可以看看下面的模板；这是 POJ 2449  的一份AC代码

/*    第 k 短路的 A* 搜索算法，估价函数 f = g + h    其中 ：        g = 起始点 到 当前点 的距离，也即是当前的距离，可以在 BFS 的时候直接求出        h = 当前点 到 终点 的最短距离（这样才满足 A* 的条件）    对于无向图，我们直接对原图跑一遍 dijstra 就可以求出终点到其他各个点的最短距离    对于有向图，我们反向建边一次，在新建的图中跑一遍 dijstra 也可以求出来终点到各个点的最短距离    */#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>#include <vector>#include <string>#include <queue>#include <stack>#define INT_INF 0x3fffffff#define LL_INF 0x3fffffffffffffff#define EPS 1e-12#define MOD 1000000007#define PI 3.141592653579798#define N 300using namespace std;typedef long long LL;typedef unsigned long long ULL;typedef double DB;struct data{    int st,en,val,next;} edge[100005],e[100005];int head[1005],h[1005],tot,tot2;bool vs[1005];int dis[1005];struct node{    int id,len,h;    bool operator <(const node &a) const    {        if(a.len+a.h==len+h) return a.len<len;        else return a.len+a.h<len+h;    }};void add_edge(int st,int en,int val){    edge[tot].st=st;    edge[tot].en=en;    edge[tot].val=val;    edge[tot].next=head[st];    head[st]=tot++;}void add_e(int st,int en,int val){    e[tot2].st=st;    e[tot2].en=en;    e[tot2].val=val;    e[tot2].next=h[st];    h[st]=tot2++;}/*对反向边求一次 dijstra ，求得各个点到终点的最短距离，也就是我们 A* 的估价函数中的 h 函数*/void dijstra(int st,int n){    memset(vs,0,sizeof(vs));    for(int i=1;i<=n;i++)        dis[i]=INT_INF;    for(int i=h[st];i!=-1;i=e[i].next)    {        dis[e[i].en]=e[i].val;    }    dis[st]=0;    while(1)    {        int k=-1 , Min=INT_INF;        for(int i=1;i<=n;i++)            if(!vs[i] && dis[i]<Min)            {                k=i;                Min=dis[i];            }        if(k==-1) break;        vs[k]=1;        for(int i=h[k];i!=-1;i=e[i].next)            if(!vs[e[i].en] && dis[e[i].en]>dis[k]+e[i].val)                dis[e[i].en]=dis[k]+e[i].val;    }}/*对起点 s 终点 t 求第 k 短路，如果找不到，返回 -1*/int kth_path(int s,int t,int k){    if(dis[s]==INT_INF) return -1;    if(s==t) k++;    priority_queue<node> q;    node now;    now.id=s; now.len=0; now.h=dis[s];    q.push(now);    int cnt=0;    while(!q.empty())    {        node now=q.top(); q.pop();        if(now.id==t) cnt++;        if(cnt==k) return now.len;        for(int i=head[now.id];i!=-1;i=edge[i].next)        {            node new_v;            new_v.id=edge[i].en; new_v.len=now.len+edge[i].val; new_v.h=dis[edge[i].en];            q.push(new_v);        }    }    return -1;}int main(){    int n,m,a,b,t,s,k;    scanf("%d%d",&n,&m);  //n 个点 m 条边 (边是有向边)    memset(head,-1,sizeof(head));    memset(h,-1,sizeof(h));    tot=tot2=0;    for(int i=1;i<=m;i++)    {        scanf("%d%d%d",&a,&b,&t);        add_edge(a,b,t);        add_e(b,a,t);    }    scanf("%d%d%d",&s,&t,&k);  //读入起点 s 终点 t 以及要求的第 k 短路中的 k    dijstra(t,n);    int ans=kth_path(s,t,k);    printf("%d\n",ans);    return 0;}